[미적분학 - 미분편 5] 미분가능성과 연속: 비슷해 보여도 같은 말은 아니다

이 글에서 다루는 내용

이 글에서는 연속과 미분가능성이 어떤 관계에 있는지 정리합니다. 특히 미분가능 => 연속은 왜 맞고, 연속 => 미분가능은 왜 항상 맞지 않는지 반례와 함께 설명합니다.

핵심 아이디어

앞 글에서 미분계수는 한 점에서의 순간변화율이라고 보았습니다. 그런데 어떤 함수가 한 점에서 미분 가능하려면, 그 점 근처에서 함수가 먼저 안정적으로 이어져 있어야 합니다.

이 때문에 보통 다음 명제는 참입니다.

$$\text{미분가능} \Rightarrow \text{연속}$$

하지만 역은 일반적으로 성립하지 않습니다.

$$\text{연속} \not\Rightarrow \text{미분가능}$$

이 한 줄이 중요합니다. 학생들이 연속과 미분가능을 거의 같은 말처럼 받아들이는 경우가 많은데, 실제로는 한 단계 차이가 있습니다.

왜 미분 가능하면 연속인가

함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분 가능하다고 하겠습니다. 즉,

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

가 존재합니다.

이 식을 다시 쓰면

$$f(a+h)-f(a)=h \cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

입니다. 여기서 $h \to 0$이면 앞의 $h$는 0으로 가고, 뒤의 몫은 어떤 유한한 값에 가까워집니다. 따라서 전체가 0으로 가서

$$f(a+h) \to f(a)$$

를 얻습니다. 즉, 함수값이 그 점에서 끊기거나 튀지 않습니다. 그래서 미분 가능하면 자동으로 연속입니다.

엄밀한 증명 자체보다 중요한 것은, 접선 기울기가 정해질 만큼 함수가 매끄럽게 움직인다면 그래프가 먼저 이어져 있어야 한다는 직관입니다.

왜 연속이라고 해서 미분 가능한 것은 아닌가

대표적인 반례는

$$f(x)=|x|$$

입니다.

이 함수는 $x=0$에서 연속입니다. 왼쪽에서 오든 오른쪽에서 오든 함수값은 0으로 잘 이어집니다. 하지만 기울기를 보면 상황이 달라집니다.

• $x<0$에서는 기울기 $-1$
• $x>0$에서는 기울기 $1$

즉, 왼쪽에서의 순간변화율과 오른쪽에서의 순간변화율이 다릅니다. 그래서 $x=0$에서 접선 기울기를 하나로 정할 수 없고, 미분 가능하지 않습니다.

이 경우 그래프는 끊기지 않았지만 뾰족합니다. 연속은 "이어짐"을 말하고, 미분 가능은 "매끄러운 기울기"까지 요구한다고 생각하면 구분이 쉬워집니다.

뾰족점, 수직 접선, 진동

미분 불가능은 꼭 함수가 끊길 때만 생기는 것이 아닙니다. 여기서는 "왜 연속만으로는 부족한가"를 대표적인 세 가지 방식으로 봅니다. 핵심은 모두 그래프는 이어져 있어도 기울기를 하나의 유한한 값으로 정하기 어렵다는 데 있습니다.

뾰족점

절댓값 함수처럼 좌우 기울기가 갑자기 바뀌면 미분 불가능합니다.

수직 접선

함수

$$f(x)=\sqrt[3]{x}$$

를 생각해 봅시다. 이 함수는 $x=0$에서 연속이지만, 원점 근처에서 기울기가 매우 가파르게 커집니다. 실제로 도함수는

$$f'(x)=\frac{1}{3x^{2/3}} \qquad (x\ne 0)$$

이므로 $x=0$ 근처에서 무한히 커집니다. 즉, $x=0$에서 차분몫의 극한이 유한한 값으로 가지 않으므로 일반적인 의미의 미분계수는 존재하지 않습니다. 이런 경우 그래프는 이어져 있지만 기울기가 너무 가파르게 솟아 수직접선 상황으로 읽게 됩니다.

진동이 심한 경우

예를 들어

$$f(x)= \begin{cases} \sin\left(\frac{1}{x}\right) & (x\ne 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$$

처럼 0에서 억지로 값을 메워도, $x=0$ 근처에서 너무 빠르게 흔들려 극한이 안정적으로 잡히지 않습니다. 그래서 연속성부터 문제가 됩니다. 또

$$f(x)= \begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right) & (x\ne 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$$

처럼 정의하면 연속은 유지하면서도 미분 판단이 까다로운 예가 됩니다. 실제로 이 함수는 $x=0$에서 연속이지만

$$\frac{f(h)-f(0)}{h}=\sin\left(\frac{1}{h}\right)$$

가 한 값으로 가지지 않으므로 $x=0$에서 미분 가능하지 않습니다. 지금 단계에서는 "연속 = 미분 가능"이 아니라는 사실을 분명히 잡아 두는 것이 중요합니다.

예제로 보는 계산

예제 1. 연속이지만 미분 불가능한 함수

$$f(x)=|x|$$

은 $x=0$에서 연속입니다. 하지만

$$\lim_{h \to 0^-} \frac{|h|-0}{h} = -1, \qquad \lim_{h \to 0^+} \frac{|h|-0}{h} = 1$$

이므로 미분계수가 존재하지 않습니다.

예제 2. 미분 가능하면 연속

$$f(x)=x^2$$

은 모든 점에서 미분 가능합니다. 예를 들어 $x=a$에서

$$f(a+h)-f(a)=(a+h)^2-a^2=2ah+h^2$$

이고, $h \to 0$이면 이 값은 0으로 갑니다. 따라서

$$f(a+h) \to f(a)$$

가 되어 실제로 연속임을 확인할 수 있습니다.

예제 3. 애초에 연속이 아니면

$$f(x)= \begin{cases} 0 & (x<0) \\ 1 & (x\ge 0) \end{cases}$$

은 $x=0$에서 점프 불연속입니다. 이런 함수는 먼저 연속이 아니므로 미분 가능성을 기대하기 어렵습니다.

자주 하는 실수

• 연속이면 자동으로 미분 가능하다고 생각하는 경우 - $|x|$가 대표적인 반례입니다.
• 절댓값 함수의 원점에서 좌우 기울기를 따로 보지 않는 경우 - 좌미분계수와 우미분계수를 분리해서 확인해야 합니다.
• 함수가 이어져 있기만 하면 접선 기울기도 있다고 생각하는 경우 - 수직 접선 같은 경우가 있습니다.
• 미분가능성과 도함수 공식 암기를 같은 수준으로 여기는 경우 - 여기서는 개념 관계가 더 중요합니다.

마무리

미분가능성과 연속은 매우 가깝지만 같은 말은 아닙니다. 미분 가능하려면 먼저 연속이어야 하지만, 연속이라고 해서 접선 기울기까지 항상 정해지는 것은 아닙니다.

다음 글에서는 다항함수와 유리함수의 미분으로 넘어갑니다. 이제 정의에서 매번 시작하지 않고, 실제 계산을 빠르게 정리하는 단계로 들어갑니다.