[미적분학 - 미분편 15] 평균값정리: 구간 전체의 변화와 한 점의 기울기

이 글에서 다루는 내용

이 글에서는 평균값정리를 다룹니다. 앞 글에서 도함수로 함수의 증가와 감소를 읽었다면, 이제는 왜 그런 해석이 가능한지 이론적으로 받쳐 주는 정리를 보게 됩니다. 구간 전체에서 본 평균변화율이, 그 구간 안의 어떤 한 점에서는 실제 순간변화율로 나타난다는 사실을 설명합니다.

핵심 아이디어

두 점 $a$, $b$를 잇는 직선의 기울기는 함수의 평균변화율입니다.

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

한편 도함수 $f'(x)$는 각 점에서의 순간변화율입니다. 평균값정리는 적절한 조건 아래에서, 이 둘이 완전히 따로 노는 값이 아니라는 사실을 말해 줍니다.

즉, 어떤 한 점 $c$에서는

$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

가 됩니다.

구간 전체의 평균적인 변화가, 구간 안의 어떤 한 순간에서 실제로 실현된다는 뜻입니다.

왜 중요한가

평균값정리는 미분법의 계산 공식을 하나 더 추가하는 내용이 아닙니다. 오히려 도함수가 함수 전체의 행동을 얼마나 강하게 통제하는지 보여 주는 정리입니다.

이 정리를 통해 다음 같은 사실들이 연결됩니다.

• 도함수가 연결된 한 구간에서 항상 양수면 함수는 증가한다.
• 도함수가 0이면 함수는 상수함수일 수밖에 없다.
• 함수값의 차이를 도함수의 정보로 추정할 수 있다.

즉, 평균값정리는 미분의 해석을 한 단계 더 단단하게 만들어 줍니다.

롤의 정리부터 보기

평균값정리의 더 단순한 형태가 롤의 정리입니다.

여기서 $a<b$라고 하겠습니다. 만약 함수가 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이고, 열린구간 $(a,b)$에서 미분가능하며,

$$f(a)=f(b)$$

이면 어떤 점 $c$가 존재해서

$$f'(c)=0$$

가 됩니다.

이 말은 시작점과 끝점의 높이가 같다면, 중간 어딘가에서는 접선이 수평인 점이 적어도 하나 있다는 뜻입니다.

평균값정리의 형태

역시 $a<b$라고 하겠습니다. 함수가 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이고 열린구간 $(a,b)$에서 미분가능하면, 어떤 $c \in (a,b)$가 존재해서

$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

가 됩니다.

기하적으로 보면, 두 끝점을 잇는 할선의 기울기와 평행한 접선이 구간 안 어딘가에 반드시 존재한다는 뜻입니다.

끝점에서 미분가능할 필요는 없다는 점도 중요합니다. 평균값정리는 열린구간 $(a,b)$에서의 미분가능성만 요구합니다.

롤의 정리에서 평균값정리로 가는 생각

평균값정리는 사실 롤의 정리를 조금 변형해서 얻습니다. 핵심은 원래 함수에서 할선의 기울기를 빼서, 양 끝점의 함수값이 같아지도록 보조함수를 만드는 것입니다.

예를 들어

$$\phi(x)=f(x)-\left(f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right)$$

처럼 두 끝점을 잇는 직선을 빼 주면 $\phi(a)=\phi(b)=0$이 됩니다. 그러면 롤의 정리를 적용할 수 있고, 어떤 $c$에서 $\phi'(c)=0$가 되어 평균값정리의 식이 나옵니다.

예제로 보는 계산

$$f(x)=x^2$$

를 구간 $[1,3]$에서 생각해 봅시다.

평균변화율은

$$\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9-1}{2}=4$$

입니다.

한편

$$f'(x)=2x$$

이므로 $f'(c)=4$가 되려면 $c=2$입니다. 실제로 $2$는 구간 $(1,3)$ 안에 있습니다.

즉, 평균값정리가 말하는 점이 실제로 존재함을 확인할 수 있습니다.

조건이 왜 필요한가

조건은 형식이 아니라 핵심입니다. 예를 들어 $f(x)=|x|$를 구간 $[-1,1]$에서 보면 연속이지만 $x=0$에서 미분가능하지 않습니다. 실제로 좌우 기울기가 달라서 평균값정리의 결론을 곧바로 적용할 수 없습니다.

즉, 닫힌구간에서의 연속성과 열린구간에서의 미분가능성은 정리를 쓰기 위한 장식이 아니라 반드시 확인해야 하는 전제입니다.

평균값정리가 주는 해석

평균값정리는 계산 문제보다 해석 문제에서 더 강력합니다.

• 어떤 함수가 왜 증가하는지 설명할 수 있습니다.
• 두 함수의 차이를 비교할 수 있습니다.
• 오차 추정과 근삿값 해석의 기초를 제공합니다.

예를 들어 어떤 구간에서 $|f'(x)|\le M$이라면 평균값정리에 의해

$$|f(b)-f(a)|\le M|b-a|$$

같은 부등식도 얻을 수 있습니다. 이는 함수값이 얼마나 빠르게 변할 수 있는지 추정하는 기본 도구가 됩니다.

앞선 글의 증가와 감소 판정도 사실은 평균값정리의 관점으로 더 단단하게 이해할 수 있습니다. 도함수의 부호가 구간 전체의 함수 행동을 지배한다는 사실이 여기서 정리되기 때문입니다.

자주 하는 실수

• 평균값정리를 아무 함수에나 적용하는 경우 - 먼저 닫힌구간 연속, 열린구간 미분가능을 확인해야 합니다.
• 연속성과 미분가능성 조건을 확인하지 않는 경우 - $|x|$ 같은 반례를 떠올리면 실수를 줄일 수 있습니다.
• 평균변화율과 순간변화율을 같은 개념으로 섞어 버리는 경우 - 평균값정리는 둘을 연결해 주지만, 둘 자체가 같은 개념은 아닙니다.
• 정리가 "특정한 점을 계산으로 바로 찾는 공식"이라고 오해하는 경우 - 핵심은 존재 보장이지, 항상 쉽게 값을 찾는 데 있지 않습니다.

마무리

평균값정리는 구간 전체의 변화와 한 점의 순간변화를 이어 주는 핵심 정리입니다. 이 정리를 통해 미분은 단순한 기울기 계산을 넘어, 함수 전체의 구조를 설명하는 이론이 됩니다.

이제 미분편의 핵심 축은 모두 갖추었습니다. 다음 단계에서는 적분편으로 넘어가, 넓이와 누적의 관점에서 정적분과 리만합을 다시 처음부터 세울 수 있습니다.