[미적분학 - 미분편 6] 다항함수와 유리함수의 미분: 계산의 기본 뼈대

이 글에서 다루는 내용

이 글에서는 다항함수의 미분 공식을 먼저 정리하고, 그 연장선에서 유리함수의 미분을 다룹니다. 계산 그 자체보다, 어떤 함수에서 어떤 규칙이 자연스럽게 나오는지 구조를 익히는 데 초점을 둡니다.

핵심 아이디어

앞까지는 미분의 뜻을 이해하는 데 집중했습니다. 이제부터는 그 뜻을 잃지 않으면서 계산을 빨리 하는 단계로 들어갑니다.

다항함수는 미분법의 가장 기본적인 연습장입니다. 구조가 단순하고, 미분 결과도 다시 다항함수로 나와서 패턴을 읽기 좋습니다.

예를 들어

f(x)=x^2 \Rightarrow f'(x)=2x

f(x)=x^3 \Rightarrow f'(x)=3x^2

를 보면 지수가 앞으로 내려오고 차수는 하나 줄어드는 패턴이 드러납니다. 이 패턴을 일반화하면 거듭제곱 함수의 미분 공식이 됩니다.

다항함수 미분의 기본 공식

가장 중요한 공식은 다음입니다.

\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}

현재 글에서는 먼저 $n$ 이 자연수인 경우를 중심으로 생각하겠습니다. 나중에는 음의 정수 지수나 더 넓은 지수로도 확장되지만, 그때는 정의역까지 함께 봐야 합니다.

또 상수함수와 상수배에 대해서는

\frac{d}{dx} c = 0, \qquad \frac{d}{dx} [c f(x)] = c f'(x)

가 성립합니다.

따라서 다항함수

f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0

의 도함수는 항별로 미분해서 얻습니다.

왜 유리함수까지 같이 보나

유리함수는 다항함수를 다항함수로 나눈 함수입니다.

f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}

형태를 가집니다. 여기서 중요한 것은 미분 계산뿐 아니라 정의역입니다. 분모 $q(x)$ 가 0이 되는 점에서는 함수 자체가 정의되지 않기 때문입니다.

초반에는 유리함수를 두 방식으로 보는 습관이 좋습니다.

먼저 가능한 경우 다항식처럼 다시 정리할 수 있는지 보기
분모가 남아 있으면 정의역을 먼저 확인하고 계산하기

예를 들어

f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}

로 쓰면

f'(x)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}

입니다. 이 계산은 단순하지만, $x=0$ 에서는 원래 함수도 도함수도 정의되지 않는다는 사실을 함께 봐야 합니다.

다항함수와 유리함수에서 무엇을 먼저 봐야 하나

계산에 들어가기 전에 다음 순서를 추천합니다.

함수 종류를 확인한다.
정의역에서 빠지는 점이 있는지 본다.
항별 미분이나 거듭제곱 패턴이 바로 보이는지 확인한다.
필요하면 식을 다시 써서 더 단순한 꼴로 바꾼다.
그래도 분모가 복잡하면 나중에 몫의 미분으로 확장한다.

즉, 지금 단계는 모든 규칙을 한꺼번에 쓰는 단계가 아니라, 가장 기본적인 함수에서 변화율 패턴을 안정적으로 읽는 단계입니다.

예제로 보는 계산

예제 1. 다항함수 미분

f(x)=3x^4-2x^2+5x-7

이면 항별로 미분해

f'(x)=12x^3-4x+5

를 얻습니다.

예제 2. 단순 유리함수 미분

f(x)=\frac{2}{x^3}=2x^{-3} \qquad (x \ne 0)

이므로

f'(x)=-6x^{-4}=-\frac{6}{x^4}

입니다. 여기서도 $x=0$ 은 원래 함수와 도함수 모두에서 제외됩니다.

예제 3. 다시 써서 미분하기

f(x)=\frac{x^2+1}{x-2}

은 $x=2$ 에서 정의되지 않습니다. 이 식은 다항식 나눗셈으로

\frac{x^2+1}{x-2}=x+2+\frac{5}{x-2}

로 다시 쓸 수 있습니다. 따라서 정의역 $x \ne 2$ 에서

f'(x)=1-\frac{5}{(x-2)^2}

를 얻습니다. 이렇게 먼저 식을 다시 써 보는 습관은 뒤에서 몫의 미분을 배울 때도 도움이 됩니다.

자주 하는 실수

상수항을 미분해도 그대로 남긴다고 생각하는 경우 - 상수의 도함수는 0입니다.
지수를 앞으로 내린 뒤 차수를 줄이지 않는 경우 - $x^n$ 은 $nx^{n-1}$ 입니다.
분모가 있는 함수에서 정의역을 확인하지 않는 경우 - 특히 분모가 0인 점을 빼먹기 쉽습니다.
아직 배우지 않은 규칙이 필요한 식을 억지로 현재 공식만으로 처리하려는 경우 - 먼저 다시 쓸 수 있는지 확인하는 편이 좋습니다.

마무리

다항함수의 미분은 미분 계산의 기본 패턴을 익히는 가장 좋은 출발점입니다. 유리함수에서는 여기에 정의역을 함께 보는 감각이 추가됩니다.

다음 글에서는 지수함수와 로그함수의 미분으로 넘어갑니다. 거듭제곱과는 다른 성장 구조를 가진 함수에서 변화율이 어떻게 나타나는지 보게 됩니다.