[미적분학 - 미분편 3] 함수의 연속: 극한과 함수값이 만나는 조건

이 글에서 다루는 내용

이 글에서는 연속을 정확히 정의하고, 연속이 왜 단순히 "그래프가 안 끊긴다"는 말보다 더 엄밀한 개념인지 설명합니다. 또 불연속의 대표 유형과 구간에서의 연속을 정리한 뒤, 왜 이 개념이 미분계수의 바로 전 단계인지 연결합니다.

핵심 아이디어

함수 $f(x)$ 가 $x=a$ 에서 연속이라는 말은 다음 세 가지가 모두 맞는다는 뜻입니다.

$f(a)$ 가 정의되어 있다.
$\lim_{x \to a} f(x)$ 가 존재한다.
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ 이다.

즉, 연속은 "극한이 존재한다"에서 끝나지 않습니다. 그 극한이 실제 함수값과 정확히 만나야 합니다.

이 점이 중요합니다. 그래야 함수가 한 점에서 갑자기 튀거나, 구멍이 나 있거나, 왼쪽과 오른쪽 거동이 어긋나는 상황을 정확히 분류할 수 있습니다.

왜 세 조건을 따로 보아야 하나

세 조건은 비슷해 보이지만 각각 다른 실패를 잡아냅니다.

함수값이 없는 경우

예를 들어

f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}

은 $x \ne 1$ 에서 $x+1$ 과 같으므로 $x \to 1$ 일 때 극한은 2입니다. 하지만 원래 식은 $x=1$ 에서 정의되지 않습니다. 따라서 $x=1$ 에서는 연속이라고 할 수 없습니다.

극한이 없는 경우

f(x) = \frac{|x|}{x}

은 $x=0$ 에서 좌극한과 우극한이 다르므로 극한이 존재하지 않습니다. 이 경우도 연속이 아닙니다.

함수값과 극한이 다른 경우

다음처럼 일부러 값을 바꿔 놓을 수도 있습니다.

f(x) = \begin{cases} x+2 & (x \ne 1) \\ 10 & (x = 1) \end{cases}

이때 $x \to 1$ 이면 극한은 3이지만 $f(1)=10$ 입니다. 극한은 있어도 함수값과 다르므로 연속이 아닙니다.

불연속은 한 가지가 아니다

불연속은 보통 몇 가지 전형적인 모습으로 나타납니다.

제거 가능한 불연속

구멍 하나만 메우면 되는 형태입니다. 앞에서 본 $(x^2-1)/(x-1)$ 이 대표적입니다. 이런 경우는 함수값을 적절히 다시 정의하면 연속으로 만들 수 있습니다.

점프 불연속

좌극한과 우극한이 서로 다를 때 생깁니다. 계단 함수나 구간별 정의 함수에서 자주 나옵니다.

무한 불연속

함수값이 특정 점 근처에서 한없이 커지거나 작아지는 경우입니다.

f(x) = \frac{1}{x}

은 $x=0$ 근처에서 이런 모습을 보입니다.

이렇게 분류해 두면 나중에 미분 가능성을 따질 때도 훨씬 명확해집니다. 애초에 연속이 아니면 미분 가능성을 기대하기 어렵기 때문입니다.

구간에서 연속이라는 말

한 점에서의 연속을 이해했다면, 이제 구간 전체에서도 생각할 수 있습니다. 함수가 어떤 구간의 모든 점에서 연속이면 그 구간에서 연속이라고 말합니다.

다항함수, 지수함수, 로그함수의 정의역 내부, 삼각함수는 보통 익숙한 범위에서 연속입니다. 그래서 이 함수들은 미분을 논할 준비가 잘 되어 있는 편입니다.

반대로 분모가 0이 되는 유리함수나, 로그의 정의역 밖, 루트 안이 음수가 되는 구간은 처음부터 조심해야 합니다. 연속은 계산 전에 함수가 서 있는 바닥이 안정적인지 확인하는 절차라고 생각해도 좋습니다.

예제로 보는 계산

예제 1. 연속 여부 판단

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1} & (x \ne 1) \\ 2 & (x = 1) \end{cases}

앞부분은 $x+1$ 과 같으므로 $x \to 1$ 일 때 극한은 2입니다. 또 $f(1)=2$ 이므로 세 조건이 모두 맞아 $x=1$ 에서 연속입니다.

예제 2. 점프 불연속

f(x) = \begin{cases} 0 & (x < 0) \\ 1 & (x \ge 0) \end{cases}

이면 $x=0$ 에서 좌극한은 0, 우극한은 1입니다. 극한이 존재하지 않으므로 연속이 아닙니다.

예제 3. 구간의 연속

f(x) = x^3 - 2x + 1

은 다항함수이므로 모든 실수에서 연속입니다. 이 사실은 이후 미분을 다룰 때 별도 경계 없이 계산을 시작할 수 있게 해 줍니다.

자주 하는 실수

그래프가 대충 이어져 보이면 연속이라고 판단하는 경우
함수값이 있으면 연속이라고 생각하는 경우
극한만 존재하면 연속이라고 결론내리는 경우
연속의 세 조건을 한 번에 점검하지 않는 경우

마무리

연속은 극한과 함수값이 정확히 만나는 조건입니다. 이 개념을 분명히 해 두어야 함수가 매끄럽게 이어지는지, 구멍이 있는지, 갑자기 튀는지, 아예 폭주하는지 구분할 수 있습니다.

다음 글에서는 미분계수와 도함수를 다룹니다. 평균변화율이 어떻게 순간변화율로 넘어가는지, 그리고 한 점의 기울기와 함수 전체의 변화율 함수가 어떻게 다른지 정리합니다.