[미적분학 - 미분편 9] 합의 미분과 상수배 미분: 가장 먼저 익혀야 할 선형성

이 글에서 다루는 내용

이 글에서는 합의 미분과 상수배 미분을 정리합니다. 겉보기에는 단순한 규칙이지만, 이후 곱의 미분, 몫의 미분, 연쇄율로 넘어가기 전에 반드시 안정적으로 익혀야 할 출발점입니다. 이 글은 이미 도함수의 뜻과 기본 미분 표기를 알고 있다는 전제 위에서 읽으면 가장 자연스럽습니다.

핵심 아이디어

도함수는 변화율을 보는 도구입니다. 함수가 여러 항의 합으로 이루어져 있으면, 전체 변화율도 각 항의 변화율을 더해 생각할 수 있습니다. 또 함수 전체를 상수배하면 변화율도 같은 상수배를 받습니다.

이 성질을 도함수의 선형성이라고 부릅니다. 물론 이 규칙을 쓰려면 $f$, $g$가 해당 점에서 실제로 미분 가능해야 합니다.

$$\frac{d}{dx}[f(x)+g(x)] = f'(x)+g'(x)$$ $$\frac{d}{dx}[c f(x)] = c f'(x)$$

여기서 $c$는 상수입니다. 이 점이 아주 중요합니다. $c$가 $x$에 따라 변하는 함수라면, 더 이상 상수배 미분 규칙을 그대로 쓸 수 없습니다.

왜 이 규칙이 먼저인가

학생들은 종종 곱의 미분이나 연쇄율이 더 중요하다고 느끼지만, 실제 계산의 시작은 거의 항상 합과 상수배입니다. 복잡한 함수도 먼저 항으로 나누고, 각 항을 따로 보고, 마지막에 다시 합치는 방식으로 계산하는 경우가 많기 때문입니다.

예를 들어

$$f(x)=3x^4-2e^x+5\sin x$$

같은 함수는 한 번에 덤비기보다

• $3x^4$
• $-2e^x$
• $5\sin x$

로 나눈 뒤 각각 미분하면 훨씬 명확합니다.

왜 선형성이 성립하나

정의에서 아주 짧게 확인할 수도 있습니다. 예를 들어 합의 미분은

$$\frac{d}{dx}[f(x)+g(x)] =\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}$$

이고, 이를 둘로 나누면

$$=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$

가 되어 결국

$$(f+g)'=f'+g'$$

를 얻습니다. 상수배 미분도 같은 방식으로

$$\frac{d}{dx}[cf(x)] =\lim_{h\to 0}\frac{cf(x+h)-cf(x)}{h} =c\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =cf'(x)$$

가 됩니다. 여기서도 핵심은 $c$가 $x$와 무관한 상수라는 점입니다.

선형성과 곱의 미분은 다르다

여기서 조심할 점이 있습니다.

합의 미분은

$$(f+g)' = f' + g'$$

처럼 깔끔하게 성립하지만, 곱에 대해서는

$$(fg)' = f'g'$$

가 아닙니다. 이 차이를 분명히 구분해야 뒤에서 곱의 미분법이 왜 따로 필요한지 자연스럽게 이해됩니다.

또 상수배 미분도 $c$가 상수일 때만 바로 성립합니다. 예를 들어

$$\frac{d}{dx}[x\sin x]$$

에서 앞의 $x$는 상수가 아니라 함수이므로, 상수배 미분이 아니라 곱의 미분을 써야 합니다.

즉, 지금 배우는 선형성은 매우 강력하지만, 모든 연산에 그대로 복사되지는 않습니다.

이제 실제 계산으로 들어가 보면, 복잡해 보이는 함수도 먼저 항별로 잘라 보는 습관이 왜 중요한지 더 분명하게 드러납니다.

예제로 보는 계산

예제 1. 다항함수의 합

$$f(x)=x^3+2x^2-5x+1$$

이면 먼저 항을 나눠서

$$(x^3)', \qquad (2x^2)', \qquad (-5x)', \qquad (1)'$$

을 각각 계산합니다. 그러면

$$(x^3)'=3x^2, \qquad (2x^2)'=4x, \qquad (-5x)'=-5, \qquad (1)'=0$$

이므로 항별로 다시 더해

$$f'(x)=3x^2+4x-5$$

를 얻습니다. 선형성은 바로 이런 식으로 실제 계산의 출발점이 됩니다.

예제 2. 상수배와 합을 함께 보기

$$f(x)=4e^x-3\ln x$$

이면

$$f'(x)=4e^x-\frac{3}{x}$$

입니다.

예제 3. 삼각함수까지 섞인 경우

$$f(x)=2\sin x+7\cos x$$

이면

$$f'(x)=2\cos x-7\sin x$$

입니다.

연습 문제

다음 함수의 도함수를 직접 구해 보세요.

$$5x^4-2x+3, \qquad 3e^x+4\cos x, \qquad 7\ln x-2\sin x$$

모든 문제에서 먼저 항을 분리하고, 각 항의 기본 도함수를 확인한 뒤 다시 합치면 됩니다.

빠르게 확인해 보면 정답은 차례로

$$20x^3-2, \qquad 3e^x-4\sin x, \qquad \frac{7}{x}-2\cos x$$

입니다.

자주 하는 실수

• 상수배 미분에서 상수를 그대로 남기지 않고 없애 버리는 경우 - 상수는 앞에 그대로 남습니다.
• 각 항의 부호를 미분하면서 바꾸어 버리는 경우 - 부호까지 포함해서 한 항으로 보는 습관이 필요합니다.
• 합의 미분과 곱의 미분을 같은 규칙처럼 다루는 경우 - $(f+g)'$와 $(fg)'$는 전혀 다르며, 곱에서는 $(fg)'=f'g+fg'$가 필요합니다.
• $c$가 함수인데도 상수배 미분을 적용하는 경우 - 예를 들어 $x\sin x$에서 $x$는 상수가 아니므로 상수배 미분이 아니라 곱의 미분을 써야 합니다.

마무리

합의 미분과 상수배 미분은 가장 기본적인 규칙이지만, 실제 계산의 거의 모든 출발점입니다. 복잡한 함수도 먼저 항으로 나누어 보는 습관을 가지면 계산이 훨씬 안정됩니다.

다음 글에서는 곱의 미분과 몫의 미분을 다룹니다. 합과 상수배만으로는 처리되지 않는 구조가 왜 새 규칙을 요구하는지 보게 됩니다.