[미적분학 - 미분편 4] 미분계수와 도함수: 순간변화율에서 변화율 함수로

이 글에서 다루는 내용

이 글에서는 평균변화율이 어떻게 미분계수로 이어지는지, 그리고 미분계수와 도함수가 어떻게 다른지 정리합니다. 마지막에는 미분가능성과 연속의 관계를 미리 보여 주어 다음 단원으로 자연스럽게 연결합니다.

핵심 아이디어

연속이 함수의 그래프가 끊기지 않는지 보는 개념이라면, 미분은 그 그래프가 한 점에서 얼마나 가파르게 움직이는지 보는 개념입니다.

그 출발점은 평균변화율입니다. 함수 $f(x)$가 있을 때 $x=a$에서 $x=a+h$까지의 평균변화율은

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

입니다.

이 식은 두 점을 잇는 할선의 기울기입니다. 이제 $h$를 0에 가깝게 보내면 두 점이 거의 한 점으로 붙고, 우리는 접선의 기울기 같은 "순간변화율"을 얻고 싶어집니다. 이 극한이 바로 미분계수입니다.

평균변화율과 순간변화율은 어떻게 다른가

평균변화율은 어떤 구간 전체를 한 번에 보는 값입니다. 반면 순간변화율은 특정한 한 점에서의 기울기를 보려는 시도입니다.

예를 들어 $f(x)=x^2$를 생각하면, $x=1$에서 $x=3$까지의 평균변화율은

$$\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{9-1}{2}=4$$

입니다. 하지만 $x=1$ 그 점에서의 순간변화율은 이 값과 다를 수 있습니다. 그래서 평균변화율을 바로 접선 기울기라고 할 수는 없고, 구간 길이를 점점 줄이는 극한 과정이 필요합니다.

실제로 $x=1$ 근처에서 구간을 줄여 보면

• $x=1$에서 $x=2$까지의 평균변화율은 3
• $x=1$에서 $x=1.5$까지의 평균변화율은 2.5
• $x=1$에서 $x=1.1$까지의 평균변화율은 2.1

처럼 점점 2에 가까워집니다. 이런 수치 흐름이 바로 할선의 기울기가 접선의 기울기로 다가가는 극한 감각입니다.

미분계수는 한 점에서의 변화율이다

함수 $f(x)$의 $x=a$에서의 미분계수는 다음처럼 정의합니다.

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

이 값이 존재하면, $x=a$에서 순간변화율이 존재한다고 말합니다.

여기서 "존재한다"는 말에는 좌우에서 다가가는 극한이 모두 같아야 한다는 뜻이 들어 있습니다. 같은 내용을

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

처럼 써도 되며, 이 표현은 함수가 $a$의 양쪽 근처에서 정의되어 있어야 함을 더 잘 보여 줍니다.

여기서 중요한 점은 $h=0$을 바로 넣는 것이 아니라, $h$를 0에 가깝게 보낸다는 것입니다. 분모가 0이 되기 때문에 처음부터 대입으로 끝낼 수는 없습니다.

예를 들어 $f(x)=x^2$를 생각해 보겠습니다.

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{(a+h)^2-a^2}{h} = \frac{2ah+h^2}{h} = 2a+h$$

따라서

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} (2a+h) = 2a$$

입니다.

즉, $x=a$에서의 기울기는 $2a$입니다. 예를 들어 $a=1$이면 기울기는 2이고, $a=3$이면 기울기는 6입니다.

도함수는 모든 점의 미분계수를 모은 함수다

여기서 중요한 구분이 하나 있습니다.

• 미분계수는 한 점 $a$에서의 값입니다.
• 도함수는 입력 전체에 대해 미분계수를 모아 만든 새 함수입니다.

즉, 위에서 $f'(a)=2a$를 얻었으면, 변수 이름을 다시 $x$로 바꾸어

$$f'(x)=2x$$

라고 쓸 수 있습니다. 이것이 도함수입니다.

표기로는 $f'(x)$ 외에도 $y'$, $\dfrac{dy}{dx}$를 자주 봅니다. 표기는 달라도 "함수 전체의 변화율을 나타내는 새 함수"라는 뜻은 같습니다.

학생들이 자주 헷갈리는 부분이 바로 여기입니다. 미분계수는 점 하나의 기울기이고, 도함수는 점마다의 기울기를 입력으로 다시 받는 함수 전체입니다.

기하와 물리에서 읽는 방법

미분계수는 기하적으로는 접선의 기울기이고, 물리적으로는 순간속도처럼 읽을 수 있습니다. 위치 함수가 있을 때 평균변화율은 평균속도, 미분계수는 바로 그 순간의 속도에 해당합니다.

즉, 미분은 단순히 기호를 다루는 기술이 아니라 "한순간의 변화"를 수로 읽는 언어입니다.

예를 들어 위치 함수 $s(t)=t^2+1$을 생각하면, $t=0$에서 $t=2$까지의 평균속도는

$$\frac{s(2)-s(0)}{2-0}=\frac{5-1}{2}=2$$

입니다. 한편 순간속도는 도함수 $s'(t)=2t$로 읽으므로, $t=2$에서의 순간속도는

$$s'(2)=4$$

입니다. 이렇게 평균값과 순간값은 실제 수치부터 달라질 수 있습니다.

다항함수 예제로 흐름 익히기

예제 1. $f(x)=x^2$

방금 계산한 대로 도함수는

$$f'(x)=2x$$

입니다.

예제 2. $f(x)=x^3$

정의에서 바로 계산하면

$$\frac{(a+h)^3-a^3}{h} = \frac{3a^2h+3ah^2+h^3}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2$$

이므로

$$f'(a)=3a^2$$

이고, 따라서 도함수는

$$f'(x)=3x^2$$

입니다.

이 계산을 몇 번 직접 해 보면, 나중에 공식을 외울 때도 왜 그런 꼴이 나오는지 감각이 남습니다.

미분가능성과 연속은 같은 말이 아니다

미분계수가 존재하려면 먼저 함수가 해당 점 근처에서 안정적으로 이어져 있어야 합니다. 그래서 일반적으로

미분가능 $\Rightarrow$ 연속

은 성립합니다.

이 명제가 왜 맞는지는 앞에서 본 식

$$f(a+h)-f(a)=h \cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

으로 짧게 확인할 수 있습니다. 미분계수가 존재하면 오른쪽의 몫은 어떤 유한한 값에 가까워집니다. 동시에 앞에 곱해진 $h$는 0으로 갑니다. 따라서 오른쪽 전체가 0으로 가고,

$$f(a+h)-f(a) \to 0$$

가 됩니다. 이 말은 곧

$$f(a+h) \to f(a)$$

를 뜻하므로, 함수는 $x=a$에서 연속입니다. 즉, 미분가능하면 함수값이 그 점 근처의 값들과 자연스럽게 이어질 수밖에 없습니다.

하지만 그 역은 항상 성립하지 않습니다. 대표적인 예가

$$f(x)=|x|$$

입니다. 이 함수는 $x=0$에서 연속이지만, 왼쪽과 오른쪽의 미분계수를 따로 보면

$$\lim_{h\to 0^-}\frac{|h|-0}{h}=-1, \qquad \lim_{h\to 0^+}\frac{|h|-0}{h}=1$$

이 되어 서로 다릅니다. 따라서 $x=0$에서 미분계수는 존재하지 않습니다.

그래서 연속은 미분의 필요조건처럼 보이지만, 충분조건은 아닙니다. 이 차이를 미리 잡아 두면 이후의 함수 해석에서 훨씬 덜 헷갈립니다.

예제로 보는 계산

예제 1. 한 점의 미분계수

함수 $f(x)=x^3$의 $x=1$에서 미분계수를 구해 봅시다. 도함수는

$$f'(x)=3x^2$$

이므로

$$f'(1)=3$$

입니다. 즉, $x=1$에서의 접선 기울기는 3입니다.

예제 2. 도함수 구하기

함수 $f(x)=x^2+3x$는 항별로 생각하면

$$(x^2)'=2x, \qquad (3x)'=3$$

이므로

$$f'(x)=2x+3$$

입니다.

이처럼 도함수는 "각 점에서의 기울기를 알려 주는 새 함수"로 읽는 것이 중요합니다.

예제 3. 물리적으로 읽는 미분계수

위치 함수 $s(t)=t^2+1$의 도함수는

$$s'(t)=2t$$

입니다. 따라서 $t=2$에서의 순간속도는

$$s'(2)=4$$

입니다. 이 예제는 도함수가 단순히 기울기 계산 결과가 아니라, 실제 변화율을 읽는 함수라는 점을 보여 줍니다.

예제 4. 절댓값 함수의 미분가능성

함수 $f(x)=|x|$를 $x=0$에서 보면 연속이지만 미분가능하지는 않습니다. 이유는 바로 위에서 본 것처럼 좌우 미분계수가 서로 다르기 때문입니다.

이 예제는 "연속이면 미분가능하다"가 거짓이라는 사실을 가장 짧게 보여 줍니다.

자주 하는 실수

• 평균변화율과 순간변화율을 같은 것으로 보는 경우 - 구간 전체와 한 점의 차이를 구분해야 합니다.
• 미분계수와 도함수를 구분하지 않는 경우 - 하나는 값이고, 다른 하나는 함수입니다.
• $h=0$을 바로 대입해 분모가 0이 되는 식으로 계산을 끝내는 경우 - 극한 과정을 끝까지 봐야 합니다.
• 연속이면 자동으로 미분 가능하다고 생각하는 경우 - $|x|$를 떠올리면 구분이 쉬워집니다.

마무리

미분은 평균변화율을 극한으로 보내 순간변화율을 얻는 과정입니다. 이때 한 점에서의 값은 미분계수이고, 그 값을 모든 점에 대해 모아 놓은 것이 도함수입니다.

이 구분을 먼저 분명히 해 두어야 뒤에서 나오는 미분법도 단순 공식 암기가 아니라, "어떤 함수의 변화율을 더 빠르게 계산하는 도구"로 읽을 수 있습니다.

다음 글에서는 이 관계를 한 번 더 분명하게 정리한 뒤, 다항함수와 유리함수의 미분으로 넘어갑니다. 즉, 개념 다리 하나를 더 단단히 놓고 본격적인 미분 계산으로 들어가게 됩니다.