[미적분학 - 미분편 12] 음함수미분: 식이 풀리지 않아도 기울기를 구할 수 있다

이 글에서 다루는 내용

이 글에서는 음함수미분을 다룹니다. 함수가 꼭 $y=f(x)$ 꼴로 주어지지 않아도, 관계식 전체를 미분해 기울기를 구할 수 있다는 점을 설명합니다.

앞 글의 연쇄율에서는 함수 안에 함수가 들어간 구조를 다뤘습니다. 이번에는 한 걸음 더 나아가, $x$와 $y$가 한 식에 함께 묶여 있는 곡선에서도 기울기를 읽는 방법을 봅니다. 즉, 연쇄율이 음함수미분의 핵심 바탕이 됩니다.

핵심 아이디어

지금까지는 대부분 함수를 $y=f(x)$ 꼴로 직접 써 놓고 미분했습니다. 하지만 실제로는

$$x^2+y^2=1$$

처럼 $x$와 $y$가 한 식 안에 함께 묶여 있는 경우도 많습니다. 이런 식은 경우에 따라 $y=\pm\sqrt{1-x^2}$처럼 풀 수 있지만, 항상 그렇게 푸는 것이 편하지는 않습니다.

이럴 때는 식 전체를 $x$에 대해 미분합니다. 이것이 음함수미분입니다.

다만 아무 점에서나 무조건 이렇게 할 수 있는 것은 아닙니다. 보통은 어떤 관계식 $F(x,y)=0$에서 해당 점 근처에서 $y$를 $x$의 함수처럼 볼 수 있어야 합니다. 고급 과정에서는 이를 $\partial F/\partial y \neq 0$ 같은 조건으로 정리하는데, 이는 암함수정리의 가장 기본적인 형태와 연결됩니다. 이 조건은 그 점 근처에서 곡선이 너무 세워져 있지 않아, $x$ 하나를 정했을 때 기울기를 하나의 값으로 읽을 수 있음을 뜻합니다. 반대로 이 값이 0이 되는 지점에서는 수직접선이나 가지가 겹치는 상황처럼 조심해야 할 일이 생깁니다.

왜 음함수미분이 필요한가

음함수미분은 두 가지 이유에서 중요합니다. 지금 이 장을 배우는 이유도 바로 여기에 있습니다. 앞에서 배운 연쇄율만으로는 관계식 전체의 기울기를 바로 읽을 수 없는 순간이 나오기 때문입니다.

1. $y$를 $x$의 명시적 함수로 풀기 어려운 식이 많다.
2. 풀 수 있더라도 식이 복잡해져서 오히려 미분이 더 어려워질 수 있다.

원, 타원, 여러 곡선의 방정식, 관련속도 문제에서는 이 방식이 매우 자연스럽습니다. 즉, 음함수미분은 특이한 예외 기술이 아니라, 관계 자체를 보존한 채 변화율을 읽는 방법입니다.

핵심은 $y$도 $x$에 따라 변한다는 점

음함수미분에서 가장 중요한 포인트는 $y$를 상수처럼 보면 안 된다는 것입니다. $y$도 $x$에 따라 변하는 양이므로, $y$가 들어간 항을 미분하면 $\dfrac{dy}{dx}$가 함께 나옵니다.

실제로 계산할 때는 다음 순서를 먼저 붙잡으면 좋습니다.

1. 관계식을 $F(x,y)=0$ 꼴로 본다.
2. 양변을 $x$에 대해 미분한다.
3. $y$가 들어간 항에서는 $dy/dx$가 따라 나온다는 점을 확인한다.
4. $dy/dx$가 붙은 항을 한쪽으로 모은다.
5. 마지막에 $dy/dx$를 정리하고, 분모가 0이 되는 점이 없는지 확인한다.

예를 들어

$$\frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}$$

입니다. 이것은 사실 연쇄율의 직접적인 결과입니다. $y$를 안쪽 함수로 보고 미분하는 셈입니다.

조금 더 천천히 쓰면

$$y^2=(y(x))^2$$

이므로 바깥 함수 $u^2$를 미분하면 $2u$, 안쪽 함수 $y(x)$를 미분하면 $dy/dx$가 나와

$$\frac{d}{dx}(y^2)=2y\cdot \frac{dy}{dx}$$

가 됩니다. 음함수미분에서 가장 자주 빠뜨리는 부분이 바로 이 $dy/dx$입니다.

예제로 보는 계산

예제 1. 원의 접선 기울기

$$x^2+y^2=1$$

을 $x$에 대해 미분하면

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$$

입니다. 따라서

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$

를 얻습니다. 이 식은 $y\neq 0$인 점에서만 바로 사용할 수 있습니다. 따라서 $y=0$인 점에서는 이 식으로 기울기를 바로 계산할 수 없고, 수직접선을 시사하는 상황으로 읽어야 합니다.

이 결과는 원 위의 각 점에서 접선 기울기가 어떻게 달라지는지 알려 줍니다.

예를 들어 원 위의 점 $(1/2,\sqrt{3}/2)$에서는

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$

입니다. 즉, 그 점에서는 완만하게 내려가는 접선을 갖습니다. 반대로 $(1,0)$처럼 $y=0$인 점에서는 위 식에 분모가 0이 나타나므로 기울기가 무한대로 커지는 수직접선 상황을 생각하게 됩니다.

예제 2. 명시적으로 푸는 것과 비교하기

원 $x^2+y^2=1$은 실제로

$$y=\pm\sqrt{1-x^2}$$

로 풀 수 있습니다. 하지만 위아래 반원을 따로 나누어야 하고, 부호를 계속 관리해야 합니다. 반면 음함수미분은 관계식 전체를 한 번에 다루므로 구조를 유지한 채 기울기를 읽을 수 있습니다.

실제로 위쪽 반원 $y=\sqrt{1-x^2}$를 미분하면

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$

을 얻습니다. 그런데 위쪽 반원에서는 $y=\sqrt{1-x^2}$이므로, 이는 바로

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$

와 일치합니다. 즉, 음함수미분 결과가 명시적으로 푼 뒤 미분한 결과와 정확히 맞아떨어집니다.

예제 3. 좀 더 복잡한 관계식

이 예제에서는 특히 모든 $y$항이 사실은 $y(x)$를 숨기고 있다는 점을 계속 의식하는 것이 중요합니다. 그래서 $y^3$을 미분하면 $3y^2\,dy/dx$가 나오고, $6xy$를 미분할 때도 곱의 미분과 함께 $dy/dx$가 나타납니다.

$$x^3+y^3=6xy$$

을 미분하면

$$3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} = 6y + 6x\frac{dy}{dx}$$

입니다. 여기서 $6xy$를 미분할 때는 곱의 미분을 써서 $6y + 6x\,dy/dx$가 나온다는 점도 함께 확인해야 합니다.

이제 $\dfrac{dy}{dx}$가 들어간 항을 한쪽으로 모으면

$$3y^2\frac{dy}{dx}-6x\frac{dy}{dx}=6y-3x^2$$

즉,

$$(3y^2-6x)\frac{dy}{dx}=6y-3x^2$$

이므로

$$\frac{dy}{dx}=\frac{6y-3x^2}{3y^2-6x}=\frac{2y-x^2}{y^2-2x}$$

를 얻습니다.

이런 문제에서 중요한 것은 식을 먼저 푸는 것이 아니라, 미분 후 $\dfrac{dy}{dx}$를 정리하는 순서입니다.

다만 여기서도 분모 $y^2-2x$가 0이 되는 점에서는 기울기를 바로 읽을 수 없습니다. 이런 점은 음함수미분 공식을 기계적으로 쓰기보다, 실제 곡선의 모양과 정의 가능성을 함께 살펴봐야 합니다.

음함수미분과 관련속도 문제

음함수미분은 단순한 곡선 미분에만 쓰이지 않습니다. 시간이 지나면서 두 양이 함께 변하는 문제에서도 매우 중요합니다.

예를 들어 반지름과 높이가 동시에 변하는 도형, 사다리 문제, 원운동 문제 등에서는 양들 사이의 관계식을 먼저 세우고, 그다음 시간에 대해 미분하는 방식으로 접근합니다. 지금은 자세한 응용까지 가지 않더라도, "관계식을 그대로 미분한다"는 감각을 먼저 잡아 두는 것이 중요합니다. 곱의 미분, 연쇄율, 음함수미분이 한 번에 만나는 대표 장면이라고 생각하면 이해가 쉽습니다.

아주 간단한 예로 길이가 일정한 사다리가 벽에 기대어 있다고 합시다. 바닥에서 벽까지의 거리 $x$, 벽을 따라 올라간 높이 $y$는

$$x^2+y^2=L^2$$

를 만족합니다. 시간이 흐르면서 $x$, $y$가 함께 변하므로, 이 식을 시간 $t$에 대해 미분하면

$$2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0$$

를 얻습니다. 여기서는 더 이상 $x$에 대한 미분이 아니라 시간 $t$에 대한 미분이라는 점이 중요합니다. 그래서 기호도 $dy/dx$가 아니라 $dy/dt$, $dx/dt$로 바뀝니다. 이것이 관련속도 문제의 기본 틀입니다. 어떤 양이 얼마나 빨라지는지, 혹은 줄어드는지를 모두 관계식의 미분으로 연결해 읽는 것입니다.

자주 하는 실수

• $y$를 상수처럼 취급해 $\dfrac{dy}{dx}$를 빠뜨리는 경우 - 미분을 시작하기 전에 "여기서 $y$도 $x$의 함수"라고 한 줄 써 두면 실수를 크게 줄일 수 있습니다.
• $y^2$를 미분하면서 $2y$까지만 쓰고 끝내는 경우 - 항상 $y^2=(y(x))^2$라고 다시 써 보고, 실제로는 $2y\,dy/dx$가 된다는 점을 확인하세요.
• 식 전체를 미분한 뒤 $\dfrac{dy}{dx}$ 항을 한쪽으로 모으지 않는 경우 - 미분이 끝나면 먼저 $dy/dx$가 붙은 항에 밑줄을 그어 한쪽으로 모으는 습관이 좋습니다.
• 원 같은 관계식을 억지로 $y=f(x)$ 꼴로 풀고 더 복잡하게 만드는 경우 - 먼저 관계식 전체를 그대로 미분하는 편이 더 자연스러운지 판단해 보세요.

마무리

음함수미분은 함수가 꼭 풀려 있어야만 기울기를 구할 수 있다는 생각을 깨 줍니다. 관계식 자체를 보존한 채 미분하는 방식은 곡선의 기울기, 관련속도, 더 복잡한 해석으로 이어지는 중요한 도구입니다.

다음 글에서는 먼저 고계도함수를 다룹니다. 변화율을 한 번 더 미분하면 무엇을 읽을 수 있는지 정리한 뒤, 이어서 미분의 활용으로 확장할 수 있습니다.