[미적분학 - 미분편 10] 곱의 미분과 몫의 미분: 왜 새 규칙이 필요한가

이 글에서 다루는 내용

이 글에서는 곱의 미분과 몫의 미분을 다룹니다. 왜 합의 미분처럼 간단히 처리할 수 없는지부터 설명하고, 실제 계산에서 가장 많이 틀리는 부분까지 함께 정리합니다.

핵심 아이디어

두 함수가 더해져 있을 때는 변화율을 항별로 나누어 생각할 수 있었습니다. 하지만 두 함수가 곱해져 있으면 한쪽만 변해도 전체 값이 변하고, 다른 쪽도 동시에 영향을 줍니다. 그래서 곱의 변화율은 단순히 각자 미분한 것을 곱하는 방식으로는 처리되지 않습니다.

곱의 미분 공식은 다음과 같습니다.

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

이 식은 "첫째 함수의 변화 + 둘째 함수의 변화"를 함께 반영한 결과로 읽는 편이 좋습니다. 아주 작은 증가량 $\Delta x$에 대해 두 함수가 동시에 변하면서 생기는 교차항까지 한 번에 표현한 결과입니다.

몫의 미분 공식은

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$

이고, 여기서는 분모 함수 [$g(x)$가 0이 아니면서 스스로도 미분 가능한 구간에서만 생각해야 합니다.

왜 $(fg)'=f'g'$가 아닌가

간단한 예로

$$f(x)=x, \qquad g(x)=x$$

를 생각해 보겠습니다. 그러면 $fg=x^2$이고,

$$(x^2)'=2x$$

입니다. 반면 $f'g' = 1 \cdot 1 = 1$은 전혀 다릅니다.

즉, 곱에서는 각 함수가 서로의 크기에 영향을 주므로, 단순히 도함수만 곱해서는 전체 변화율을 설명할 수 없습니다. 극한 정의 관점에서 보면

$$\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}$$

을 전개할 때 $f(x+\Delta x)g(x)$와 $f(x)g(x+\Delta x)$가 동시에 나타나며, 이 교차항이 바로 $f'(x)g(x)$, $f(x)g'(x)$ 두 항으로 남습니다.

곱의 미분 공식이 나오는 과정

직사각형 넓이 비유로도 이해할 수 있습니다. 가로 길이가 $f(x)$, 세로 길이가 $g(x)$인 직사각형을 생각하고, 두 변이 각각 $\Delta f$, $\Delta g$만큼 늘었다고 해봅시다. 그러면 넓이 변화량은

$$f\,\Delta g + g\,\Delta f + \Delta f\,\Delta g$$

입니다. $\Delta f\,\Delta g$는 $\Delta x$에 비해 2차로 작으므로, 극한을 취하면 결국

$$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

만 남습니다. 공식이 단순 암기가 아니라, 두 함수가 서로의 값을 곱하면서 생기는 교차 효과를 모두 더한 결과라는 점을 기억합시다.

곱의 미분을 읽는 법

공식을 외울 때는 다음처럼 읽어도 좋습니다.

• 앞 미분 뒤 그대로
• 더하기
• 앞 그대로 뒤 미분

즉,

$$(fg)' = f'g + fg'$$

입니다.

이 문장형 기억은 초반 계산 실수를 줄이는 데 도움이 됩니다. 다만 순서를 잊지 않도록, 공식 자체도 항상 크게 확인하세요.

몫의 미분을 읽는 법

몫의 미분은 공식이 더 길어 보여서 자주 실수합니다. 핵심은 세 가지입니다.

1. 분모는 제곱된다.
2. 순서는 $f'g-fg'$이다.
3. 분모가 0이거나 분모 함수가 미분 불가능한 점은 애초에 적용할 수 없다.

특히 부호 실수가 매우 흔합니다. 더하기가 아니라 빼기라는 점을 꼭 확인해야 합니다.

예제로 보는 계산

예제 1. 곱의 미분

$$f(x)=x^2 e^x$$

이면

$$f'(x)=2x e^x + x^2 e^x$$

입니다. 합쳐 보면 $f'(x)=e^x(2x+x^2)$이므로, 지수함수 값이 전체 변화량에 공통으로 붙고 다항식 부분만 따로 변하는 구조임을 볼 수 있습니다.

예제 2. 삼각함수가 있는 곱

$$f(x)=x\sin x$$

이면

$$f'(x)=1\cdot \sin x + x\cos x = \sin x + x\cos x$$

입니다. $x\cos x$ 항에서 원래 함수 값인 $x$가 그대로 남아 뒤쪽 함수의 변화율과 곱해지는 모습을 확인해 보세요.

예제 3. 몫의 미분

$$f(x)=\frac{\sin x}{x}$$

이면 ($x\neq 0$에서만 정의됩니다)

$$f'(x)=\frac{(\cos x)\cdot x - (\sin x)\cdot 1}{x^2} =\frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$$

입니다. 분모가 제곱으로 남아 있음을 확인하고, $x=0$에서는 함수 자체가 정의되지 않으므로 미분도 의미가 없다는 점을 꼭 언급해야 합니다.

자주 하는 실수

• $(fg)'=f'g'$로 잘못 쓰는 경우
• 곱의 미분에서 두 항 중 하나를 빼먹는 경우
• 몫의 미분에서 분모 제곱을 빠뜨리는 경우
• $f'g-fg'$의 순서를 뒤집는 경우

마무리

곱과 몫은 합과 달리 함수들이 서로 영향을 주는 구조입니다. 그래서 각각의 변화율이 전체 식에 어떻게 작용하는지 따로 반영하는 새 규칙이 필요합니다.

이번 글을 정리하면서

• 곱의 미분 공식을 스스로 전개해 볼 수 있는가?
• 몫의 미분에서 정의역과 분모 도함수 조건을 점검했는가?
• 예제 계산을 다른 함수에도 옮겨 볼 수 있는가?

라는 체크리스트를 한 번 더 확인해 두면 좋습니다. 준비가 되었다면 다음 글에서 연쇄율을 살펴보겠습니다. 함수 안에 함수가 들어간 합성 구조에서 변화율이 어떻게 전달되는지 자연스럽게 이어집니다.