[미적분학 - 미분편 2] 함수의 극한: 점에 가까워질 때 무엇을 보는가

이 글에서 다루는 내용

이 글에서는 함수의 극한이 무엇인지 설명하고, 대입으로 끝나는 경우와 추가 계산이 필요한 경우를 나눠 봅니다. 또 좌극한과 우극한, 무한대 극한, 점근선 감각까지 정리한 뒤 연속으로 연결합니다.

먼저 잡고 갈 말

• 함수의 극한 - 입력이 어떤 점에 가까워질 때 출력이 어디로 가는지 보는 개념
• 좌극한과 우극한 - 한 점의 왼쪽과 오른쪽에서 따로 다가갈 때의 거동
• 점근선 - 함수값이 가까워지거나 끝없이 커지면서 그래프가 기대게 되는 직선

핵심 아이디어

수열의 극한이 "항의 번호 $n$이 커질 때 값이 어디로 가는가"를 보는 개념이었다면, 함수의 극한은 "입력 $x$가 어떤 점 $a$에 가까워질 때 함수값 $f(x)$이 어디로 가는가"를 보는 개념입니다.

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

이 표기는 $x$가 $a$에 가까워질수록 $f(x)$가 $L$에 가까워진다는 뜻입니다. 여기서 핵심은 $x=a$에서의 값 자체보다, $a$ 근처에서의 거동을 본다는 점입니다.

이 차이를 이해해야 나중에 함수값은 비어 있어도 극한은 존재하는 경우, 혹은 함수값은 있어도 극한이 존재하지 않는 경우를 구분할 수 있습니다.

조금 더 정확하게 말하면, 왼쪽과 오른쪽에서 다가가는 함수값이 모두 같은 유한한 수 $L$에 가까워질 때

$$\lim_{x\to a}f(x)=L$$

라고 씁니다. 즉, 임의로 작은 오차 범위를 먼저 정해도 결국 함수값이 그 안으로 들어오게 된다는 뜻입니다. 따라서 $+\infty$, $-\infty$로 커지는 상황은 보통 "유한한 극한값이 존재한다"고 말하지 않고, 무한대로 발산한다고 따로 구분합니다.

함수값과 극한값은 다를 수 있다

초반에 가장 많이 생기는 오해는 함수값과 극한값을 같은 것으로 보는 것입니다. 하지만 극한은 $x=a$ 그 점을 직접 보는 것이 아니라, 그 점에 가까이 가는 동안의 흐름을 보는 개념입니다.

예를 들어

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$$

은 $x=1$에서 정의되지 않지만, $x \neq 1$에서는 $x+1$과 같습니다. 그래서 $x$가 1에 가까워질 때 함수값은 2에 가까워집니다. 즉, 함수값이 비어 있어도 극한은 존재할 수 있습니다.

반대로 함수값은 따로 정해 두었지만 극한과 다를 수도 있습니다. 이런 차이를 보는 것이 바로 극한의 역할입니다.

먼저 대입이 되는지 확인하기

가장 간단한 경우는 함수가 그 점 근처에서 잘 정의되어 있고, 그냥 대입해도 문제가 없는 경우입니다.

예를 들어

$$\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x - 1)$$

은 다항함수이므로 대입하면 바로

$$2^2 + 3 \cdot 2 - 1 = 9$$

입니다.

이처럼 다항함수나 많은 기본 함수는 대입만으로 끝나는 경우가 많습니다. 하지만 미적분학에서 중요한 장면은 대입이 막히는 순간에 시작됩니다.

0/0 꼴은 답이 아니라 신호다

다음 식을 보겠습니다.

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$$

바로 대입하면 $0/0$이 나옵니다. 이 값이 답이라는 뜻이 아니라, 지금 식의 구조로는 판단할 수 없다는 신호입니다.

이때는 인수분해를 먼저 합니다.

$$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \quad (x \ne 1)$$

따라서 극한은

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$$

입니다.

왜 $0/0$이 답이 아니냐면, 분자와 분모가 동시에 0이 되었다는 사실만으로는 전체 비율이 어디로 가는지 판단할 수 없기 때문입니다. 어떤 식은 2로 가고, 어떤 식은 5로 가고, 어떤 식은 아예 극한이 존재하지 않을 수도 있습니다. 그래서 $0/0$은 "계산을 멈추라"가 아니라 "식을 다시 정리하라"는 신호입니다.

0/0 꼴을 만나면 먼저 다음을 떠올리면 좋습니다.

1. 인수분해할 수 있는가
2. 공통인자를 묶을 수 있는가
3. 루트가 있으면 유리화가 필요한가

유리화가 필요한 경우도 있다

루트가 들어간 식은 유리화가 자주 등장합니다.

예를 들어

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$$

은 직접 대입하면 다시 $0/0$입니다. 이때 켤레를 곱하면

$$\frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+1} + 1}{\sqrt{x+1} + 1} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1}$$

이므로 극한은

$$\frac{1}{2}$$

입니다.

0/0 꼴을 만나면 먼저 "인수분해할까, 유리화할까, 공통인자를 묶을까"를 생각하는 습관이 중요합니다.

좌극한과 우극한은 왜 따로 보나

한 점에서 전체 극한이 존재하려면 왼쪽에서 다가갈 때와 오른쪽에서 다가갈 때가 같아야 합니다.

$$\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$$

예를 들어

$$f(x) = \frac{|x|}{x}$$

에서는

$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1, \qquad \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$$

이므로

$$\lim_{x \to 0} f(x)$$

는 존재하지 않습니다.

이 개념은 구간별 정의 함수에서 특히 중요합니다. 함수의 모양이 한 점을 기준으로 갑자기 달라질 수 있기 때문입니다.

무한대 극한과 점근선 감각

어떤 함수는 특정 점에 가까워질수록 값이 한없이 커지기도 합니다.

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$$

이 경우 우리는 보통 "유한한 극한값이 존재한다"고 말하지 않고, 무한대로 발산한다고 구분합니다. 이때 $x=0$은 함수 $1/x$의 수직점근선으로 읽습니다.

또

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{x} = 2$$

는 $x$가 커질수록 함수값이 2에 가까워진다는 뜻입니다. 이런 경우 $y=2$를 수평점근선이라고 읽습니다.

즉, 수직점근선은 특정 $x$값 근처에서 함수가 위나 아래로 폭주할 때 나타나고, 수평점근선은 $x$가 매우 커지거나 매우 작아질 때 함수가 가까워지는 높이를 나타냅니다.

함수의 극한은 한 점 근처만 보는 것이 아니라, 입력이 매우 커질 때의 전반적 거동까지 읽는 도구이기도 합니다.

예제로 보는 계산

문제를 풀 때는 먼저 다음 순서를 떠올리면 좋습니다.

1. 먼저 대입해 본다.
2. 값이 바로 나오면 끝낸다.
3. $0/0$이면 식의 구조를 바꾼다.
4. 한 점에서 함수가 갈라져 있으면 좌극한과 우극한을 따로 본다.
5. 입력이 커지거나 특정 점에서 폭주하면 무한대 극한인지 판단한다.

이 순서를 염두에 두고 예제를 보면 어떤 문제에 어떤 도구를 써야 하는지 훨씬 분명해집니다.

예제 1. 인수분해형 극한

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$

분자를 인수분해하면

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \quad (x \ne 2)$$

이므로 극한은 4입니다.

예제 2. 유리화형 극한

$$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x - 3}$$

켤레를 곱하면

$$\frac{\sqrt{x+1} - 2}{x - 3} \cdot \frac{\sqrt{x+1} + 2}{\sqrt{x+1} + 2} = \frac{(x+1)-4}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)} = \frac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+2} \quad (x\ne 3)$$

이므로 극한은

$$\frac{1}{4}$$

입니다.

예제 3. 좌우극한 비교

$$f(x) = \begin{cases} x+1 & (x < 1) \\ 3-x & (x \ge 1) \end{cases}$$

이면

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2, \qquad \lim_{x \to 1^+} f(x) = 2$$

입니다. 좌우극한이 같으므로 함수의 극한은 2입니다. 이제 실제 함수값 $f(1)$까지 2이면 그때 비로소 연속이라고 말할 수 있습니다.

이 예제에서는 실제로

$$f(1)=3-1=2$$

이므로 극한값과 함수값이 일치합니다.

예제 4. 극한은 있는데 함수값은 다른 경우

함수

$$f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1} & (x \ne 1) \\ 5 & (x=1) \end{cases}$$

를 생각해 봅시다. $x \ne 1$에서는 $f(x)=x+1$이므로

$$\lim_{x \to 1} f(x)=2$$

입니다. 하지만 $f(1)=5$입니다. 즉, 극한값과 함수값은 다를 수 있습니다.

연습해 보기

다음 문제를 스스로 풀어 보세요.

$$\lim_{x \to 1}\frac{x^2+x-2}{x-1}, \qquad \lim_{x \to 0}\frac{|x|}{x}, \qquad \lim_{x \to \infty}\frac{3x-1}{x+2}$$

첫 번째는 인수분해, 두 번째는 좌우극한 비교, 세 번째는 수평점근선 감각을 확인하는 연습입니다.

자주 하는 실수

• 극한과 함수값을 같은 것으로 생각하는 경우 - $x=a$에서의 값과 $x \to a$의 흐름은 다릅니다.
• $0/0$을 실제 답으로 오해하는 경우 - 이는 식을 다시 보라는 신호입니다.
• 좌극한과 우극한을 확인하지 않고 전체 극한이 있다고 결론내리는 경우 - 구간별 함수에서는 특히 위험합니다.
• 무한대로 커지는 상황을 "극한값이 있다"고 말하는 경우 - 유한한 수에 가까워지는 것과 구분해야 합니다.

마무리

함수의 극한은 단순 대입 기술이 아니라, 함수가 한 점 근처에서 어떤 태도를 보이는지 읽는 도구입니다. 대입이 막히면 구조를 바꾸고, 한 점에서 양쪽이 다르면 좌우를 나누어 보고, 무한대로 커지면 발산으로 구분해야 합니다.

다음 글에서는 연속을 다룹니다. 그때는 함수값이 정의되어 있는지, 극한이 존재하는지, 그리고 두 값이 서로 같은지를 한꺼번에 보게 됩니다. 즉, 이번 글에서 배운 극한이 다음 글의 연속 조건으로 바로 이어집니다.