[미적분학 - 미분편 8] 삼각함수의 극한과 미분: 라디안이 중요한 이유

이 글에서 다루는 내용

이 글에서는 삼각함수의 미분이 어떤 극한 위에 서 있는지 설명합니다. 앞 글에서 지수함수와 로그함수의 미분 공식을 보았다면, 이제는 삼각함수의 미분이 극한과 덧셈정리 위에서 어떻게 나오는지 봐야 합니다. 특히 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$이 왜 핵심인지, 라디안이 왜 필요한지, 그리고 사인과 코사인의 도함수가 어떻게 이어지는지 정리합니다.

핵심 아이디어

삼각함수의 미분은 다항함수나 지수함수처럼 바로 패턴만 보고 외우기보다, 먼저 어떤 기본 극한이 필요한지 이해해야 합니다.

가장 중요한 식은

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

입니다.

이 극한이 있어야 $\sin x$와 $\cos x$를 극한 정의로 미분할 수 있습니다. 즉, 삼각함수의 미분은 공식을 외우는 단원이 아니라, 극한이 실제 미분 공식으로 연결되는 단원입니다.

왜 라디안이 꼭 필요한가

위 극한은 각도를 라디안으로 재었을 때만 1이 됩니다. 도 단위를 쓰면 상수가 달라집니다.

이 말은 단순한 계산 규칙이 아니라, 미적분학에서 각도의 자연스러운 단위가 라디안이라는 뜻입니다. 라디안은 원의 반지름과 호의 길이를 직접 연결해 주기 때문에 극한과 미분 공식이 가장 깔끔하게 정리됩니다.

그래서 이후 삼각함수 미분 공식을 쓸 때는 각도가 라디안 기준이라는 사실을 기본 전제로 둡니다.

왜 $\sin x / x$ 극한이 핵심인가

이 극한은 단순한 한 문제의 답이 아니라, 삼각함수 미분 전체의 출발점입니다. 기하적으로는 단위원에서 부채꼴, 삼각형, 접선을 비교하는 조임정리로 정당화할 수 있고, 그 결과

$$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}=1, \qquad \lim_{h \to 0} \frac{\cos h-1}{h}=0$$

을 얻게 됩니다.

이 두 식이 있어야 사인과 코사인의 미분이 자연스럽게 계산됩니다.

사인의 미분은 어떻게 나오나

사인의 도함수는 극한 정의에서 시작합니다.

$$\frac{d}{dx}\sin x = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}$$

여기에 삼각함수의 덧셈정리를 쓰면

$$\sin(x+h)=\sin x \cos h + \cos x \sin h$$

이므로

$$\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} =\sin x\cdot \frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot \frac{\sin h}{h}$$

가 됩니다. 이제

$$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}=1, \qquad \lim_{h \to 0} \frac{\cos h-1}{h}=0$$

을 이용하면 최종적으로

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$$

를 얻습니다.

여기서 핵심은 결과만이 아니라, 덧셈정리와 기본 극한이 함께 작동한다는 점입니다.

코사인의 미분은 왜 마이너스가 붙나

코사인도 같은 방식으로 시작합니다.

$$\frac{d}{dx}\cos x = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}$$

덧셈정리를 넣고 정리하면

$$\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} =\cos x\cdot \frac{\cos h-1}{h}-\sin x\cdot \frac{\sin h}{h}$$

가 되고, 극한을 취하면

$$\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$$

를 얻습니다.

많이 틀리는 부분이 바로 이 부호입니다. 사인은 코사인으로, 코사인은 마이너스 사인으로 간다는 연결을 한 묶음으로 기억하는 편이 좋습니다.

기본 삼각함수 도함수의 묶음

이후 자주 쓰는 공식은 다음과 같습니다.

$$(\sin x)'=\cos x, \qquad (\cos x)'=-\sin x, \qquad (\tan x)'=\sec^2 x$$

현재 단계에서는 먼저 사인과 코사인의 미분 구조를 이해하는 것이 더 중요합니다. $\tan x$는 뒤에서 몫의 미분과 함께 다시 보면 더 자연스럽습니다.

예제로 보는 계산

예제 1. 기본 도함수 적용

$$f(x)=3\sin x - 2\cos x$$

이면

$$f'(x)=3\cos x + 2\sin x$$

입니다.

예제 2. 탄젠트의 변화율

$$f(x)=\tan x$$

의 도함수는

$$f'(x)=\sec^2 x$$

입니다. 이 공식은 뒤에서 $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$로 두고 다시 확인할 수 있습니다.

예제 3. 라디안의 중요성 확인

삼각함수 미분 공식은 각도가 라디안일 때 가장 깔끔합니다. 만약 각도를 도 단위로 쓴다면 $\sin x$의 미분 앞에도 추가 상수가 붙게 됩니다. 즉, 삼각함수 미분 공식을 그대로 쓰는 순간 이미 라디안을 사용하고 있다고 이해해야 합니다.

자주 하는 실수

• $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$을 단위와 상관없이 쓰는 경우 - 이 식은 라디안 기준입니다.
• $(\cos x)'=-\sin x$에서 마이너스를 빼먹는 경우 - 사인과 코사인을 한 묶음으로 기억하는 편이 좋습니다.
• 덧셈정리 없이 삼각함수 미분 공식을 그냥 외워 버리는 경우 - 공식의 근거가 사라집니다.
• 탄젠트 도함수와 시컨트를 헷갈리는 경우 - $(\tan x)'=\sec^2 x$입니다.

마무리

삼각함수의 미분은 극한, 덧셈정리, 라디안이 함께 묶여 움직이는 단원입니다. 그래서 결과만 외우기보다, 왜 이 공식이 나오는지까지 연결해서 이해해야 이후 합성함수나 복합 미분 문제에서도 흔들리지 않습니다.

다음 글에서는 상수배 미분과 합의 미분을 먼저 정리하고, 그 다음 곱의 미분, 몫의 미분, 연쇄율, 음함수미분으로 확장할 수 있습니다.