직선의 방정식 1 | 기울기로 두 직선의 관계 읽기

오늘의 질문

두 직선의 식만 보고 한 점에서 만나는지, 만나지 않는지, 완전히 겹치는지 구별할 수 있을까요?

이 글에서는 두 직선의 위치 관계를 교차·평행·일치로 분류합니다. 서로 다른 두 직선이 한 점에서 만나며 직각을 이루는 경우를 수직이라고 합니다. 두 기울기가 모두 정해질 때에는 기울기의 곱이 $-1$인지로 수직을 확인합니다.

선수 개념 빠른 확인

1. $y=3x-2$의 기울기는 무엇인가요?
2. $y=-x+4$에 $x=2$를 넣으면 $y$는 얼마인가요?
3. $2x+y=5$를 $y=mx+n$ 꼴로 바꾸세요.

확인하기

간단 답은 $3$, $2$, $y=-2x+5$입니다.

개념을 먼저 이해하기

• 직선의 기울기 $m$: 수직선이 아닌 직선에서 $x$가 $1$만큼 커질 때 $y$가 변하는 양입니다.
• $y$절편 $n$: 직선 $y=mx+n$이 $y$축과 만나는 점의 $y$좌표입니다.
• 일치: 두 식이 똑같은 점들의 모임을 나타내는 관계입니다.
• 평행: 서로 다른 두 직선이 만나지 않는 관계입니다.
• 수직: 두 직선이 직각으로 만나는 관계입니다.

두 직선 $y=m_1x+n_1$, $y=m_2x+n_2$에서

• $m_1\ne m_2$이면 한 점에서 만납니다.
• $m_1=m_2$, $n_1\ne n_2$이면 평행합니다.
• $m_1=m_2$, $n_1=n_2$이면 일치합니다.
• 두 기울기가 모두 정해지고 $m_1m_2=-1$이면 수직입니다.

수직선 $x=a$는 $y=mx+n$ 꼴로 쓸 수 없어 기울기가 정해지지 않습니다. 수직선 $x=a$, $x=b$는 $a=b$이면 일치하고 $a\ne b$이면 평행합니다. 수직선은 가로선 $y=b$와 수직입니다. 이 경우들은 기울기 곱 대신 식의 모양과 상수를 비교해 판단합니다.

예제로 확인하기

같은 기울기라도 절편이 같은지에 따라 평행과 일치가 갈립니다. 먼저 두 식을 같은 꼴로 정리하세요.

예제 1: 서로 다른 기울기로 교점 찾기

$y=2x-1$과 $y=-x+5$의 관계를 판단합니다.

1. 두 식은 모두 기울기-절편 꼴이고 기울기는 각각 $2$, $-1$입니다.
2. 기울기가 다르므로 한 점에서 만납니다.
3. 교점에서는 두 $y$값이 같으므로 $2x-1=-x+5$입니다. 따라서 $x=2$, $y=3$입니다.
4. 확인: $(2,3)$을 넣으면 $3=2\cdot2-1$, $3=-2+5$가 모두 참입니다.

따라서 두 직선은 $(2,3)$에서 만납니다.

예제 2: 평행과 일치 구별하기

$2x-y+4=0$과 $4x-2y-6=0$을 비교합니다.

1. 각각 $y=2x+4$, $y=2x-3$으로 바꿀 수 있습니다.
2. 기울기는 모두 $2$이지만 $y$절편은 $4$, $-3$으로 다릅니다.
3. 확인: $x=0$일 때 두 직선의 점은 $(0,4)$, $(0,-3)$입니다. 같은 점이 아니고 방향만 같습니다.

따라서 두 직선은 평행합니다. 둘째 식이 $4x-2y+8=0$이었다면 첫째 식의 $2$배이므로 일치했을 것입니다.

예제 3: ‘기울기가 다르면 수직’이라는 오류 고치기

$y=2x+1$과 $y=-3x+4$를 수직이라고 한 풀이를 살펴봅니다.

1. 기울기는 $2$, $-3$으로 서로 다릅니다. 이 사실은 교점이 하나라는 것만 보장합니다.
2. 수직 조건을 확인하면 $2\cdot(-3)=-6\ne-1$입니다.
3. 두 식을 같게 두면 $2x+1=-3x+4$이므로 교점은 $\left(\frac35,\dfrac{11}{5}\right)$입니다.
4. 확인: 두 식에 교점을 넣으면 모두 $\dfrac{11}{5}$가 되지만, 기울기 곱은 여전히 $-6$입니다.

따라서 두 직선은 만나지만 수직은 아닙니다.

방법이 성립하는 이유

기울기는 직선의 기울어진 정도를 나타냅니다. 기울기가 같으면 오른쪽으로 같은 만큼 갈 때 위아래 변화도 같아 두 선 사이의 세로 간격이 변하지 않습니다. 절편까지 같으면 간격이 $0$이라 일치하고, 절편이 다르면 일정한 간격을 유지해 만나지 않습니다. 기울기 $m_1,m_2$가 모두 정해진 두 직선에서 기울기가 다르면 두 식의 $y$값 차이가 $x$에 따라 변하므로 그 차이가 $0$이 되는 $x$가 하나 생깁니다.

기울기 $m$인 직각삼각형의 가로 변화와 세로 변화를 서로 바꾸고 한 방향의 부호를 바꾸면 수직 방향이 됩니다. 새 기울기는 $-\frac1m$이므로 두 기울기의 곱은 $-1$입니다. 이 설명은 $m\ne0$일 때 쓰며, 가로선과 수직선은 그림으로 별도 확인합니다.

자주 하는 오해와 조건 점검

“기울기가 같으면 평행”이라고만 말하면 일치하는 경우를 놓칩니다. 먼저 두 식이 서로 다른 직선인지 절편이나 식 전체의 배수 관계로 확인해야 합니다. 반대로 “기울기가 다르면 수직”도 틀립니다. 기울기가 다르면 한 점에서 만나지만, 두 기울기가 모두 정해진 경우 수직이려면 곱이 정확히 $-1$이어야 합니다.

기울기와 교점으로 두 직선을 판정하기

모눈종이에 $y=x+1$, $y=x-2$, $y=-x+1$을 그려 보세요. 처음 두 선은 세로 간격이 늘 $3$으로 같아 만나지 않습니다. 세 번째 선은 $(0,1)$에서 첫째 선과 직각으로 만납니다. 같은 기울기와 다른 절편은 평행이고, 두 기울기가 모두 정해진 경우 기울기의 곱이 $-1$이면 수직입니다.

직접 해 보기

먼저 아래 미니 연습에서 기울기·절편·교점 관계를 판정해 보세요. 답을 제출한 뒤 필요하면 힌트와 해설을 확인합니다.

교점을 구하는 문제에서는 구한 좌표를 두 식에 대입해 보세요.

연습 문제

1. $y=4x-3$의 기울기와 $y$절편을 쓰세요.
2. $y=2x+1$과 $y=2x-5$의 관계를 판단하세요.
3. $y=-3x+2$와 $3x+y-2=0$의 관계를 판단하세요.
4. $y=\frac12x+4$와 $y=-2x+1$의 관계를 판단하세요.
5. $y=x-1$과 $y=-x+3$의 교점을 구하세요.
6. $2x+y=4$와 $x-y=2$의 교점을 구하세요.
7. $x=5$와 $y=-2$의 관계를 판단하세요.
8. $y=3x$과 $y=-\frac13x+7$이 수직인 근거를 쓰세요.
9. “$y=2x+1$과 $y=2x+1$은 평행하다”의 잘못을 설명하세요.
10. 직선 $y=kx+4$가 $y=-\frac14x-2$와 수직일 때 $k$를 구하세요.

힌트 보기

힌트와 해설

힌트

1. $y=mx+n$과 비교합니다. 2~4. 기울기와 절편을 차례로 봅니다. 5~6. 두 식의 $y$값을 같게 하거나 연립합니다. 7. 세로선과 가로선을 그립니다. 8. 기울기를 곱합니다. 9. 같은 점 하나가 아니라 모든 점을 비교합니다. 10. 수직 조건을 씁니다.

정답 보기

해설

1. 이미 기울기-절편 꼴입니다. $m=4$, $n=-3$. 확인: $x=0$이면 $y=-3$입니다.
2. 서로 다른 식입니다. 기울기는 $2$로 같고 절편은 다르므로 평행입니다. 확인: $x=0$에서 두 점의 높이는 $1,-5$입니다.
3. 둘째 식은 $y=-3x+2$입니다. 두 식은 일치합니다. 확인: 둘째 식을 옮기면 첫 식과 같습니다.
4. 두 기울기가 정해집니다. 곱이 $\frac12\cdot(-2)=-1$이므로 수직입니다. 확인: 서로 다른 절편이라 같은 직선이 아닙니다.
5. 기울기가 달라 교점이 하나입니다. $x-1=-x+3$에서 $(2,1)$. 확인: 두 식에 넣어 모두 $1$입니다.
6. $y=4-2x$, $y=x-2$입니다. $x=2$, $y=0$. 확인: $4+0=4$, $2-0=2$입니다.
7. $x=5$는 세로선, $y=-2$는 가로선입니다. 수직입니다. 확인: 교점 $(5,-2)$에서 두 식이 참입니다.
8. 기울기는 $3$, $-\frac13$입니다. 곱이 $-1$입니다. 확인: 두 기울기 모두 정해지므로 조건을 적용할 수 있습니다.
9. 두 식이 완전히 같습니다. 평행한 서로 다른 두 선이 아니라 일치합니다. 확인: 어느 $x$를 넣어도 같은 $y$가 나옵니다.
10. 두 기울기가 정해집니다. $k\left(-\frac14\right)=-1$에서 $k=4$. 확인: $4\cdot\left(-\frac14\right)=-1$입니다.

다음 연결

06편에서는 $x=a$ 같은 수직선을 기울기로 억지로 다루지 않고, $ax+by+c=0$의 계수만으로 평행과 수직을 판단하는 방법을 비교합니다.

자기 점검

• 기울기와 절편을 이용해 교차·평행·일치를 구별할 수 있는가?
• 기울기가 다른 것과 수직인 것을 구별할 수 있는가?
• 수직선이 들어오면 기울기 곱 조건을 바로 쓰지 않는가?