원의 방정식 3 | 거리로 원과 직선의 관계 판단하기

오늘의 질문

교점 좌표를 구하지 않고도 원과 직선이 몇 점에서 만나는지 알 수 있을까요?

이 글을 마치면 원의 중심 $C$, 반지름 $r>0$, 중심과 직선 사이 거리 $d$를 찾고, $d<r$, $d=r$, $d>r$의 세 경우를 각각 교점 $2$개, 접점 $1$개, 교점 없음으로 판정할 수 있습니다.

선수 개념 빠른 확인

1. $(x-2)^2+(y+1)^2=16$의 중심과 반지름은 무엇인가요?
2. 원점과 직선 $x-3=0$ 사이의 거리는 얼마인가요?
3. $5$와 $\sqrt{20}$ 중 어느 수가 더 큰가요?

선수 개념 정답 보기

간단 답은 $(2,-1)$과 $4$, $3$, $5$입니다.

개념을 먼저 이해하기

• 교점: 원과 직선을 동시에 만족하는 점입니다.
• 접선: 원과 한 점에서만 만나는 직선입니다.
• 접점: 접선과 원이 만나는 유일한 점입니다.
• $d$: 원의 중심에서 직선까지의 최단거리입니다.

반지름 $r$인 원과 직선에 대해

$d<r \Rightarrow \text{서로 다른 교점 2개}$ $d=r \Rightarrow \text{접점 1개}$ $d>r \Rightarrow \text{교점 없음}$

비교할 때 제곱근이 번거로우면 $d,r\ge0$이므로 $d^2$과 $r^2$을 비교해도 됩니다.

예제로 확인하기

이 글에서는 반지름 $r>0$인 원과 $(a,b)\ne(0,0)$인 실제 직선인지 확인한 뒤 $d$와 $r$을 비교하세요.

예제 1: 두 점에서 만나는 경우

원 $(x-1)^2+(y-2)^2=25$와 직선 $3x+4y-18=0$의 관계를 판단합니다.

1. 중심 $C(1,2)$, 반지름 $r=5>0$이고 직선 계수 $(3,4)\ne(0,0)$입니다.
2. $d=\dfrac{|3+8-18|}{5}=\dfrac75$입니다.
3. $\frac75<5$이므로 서로 다른 두 점에서 만납니다.
4. 확인: 중심에서 직선까지 가장 짧은 길이조차 반지름보다 짧으므로 직선은 원 안으로 들어왔다가 다시 나갑니다.

예제 2: 매개된 직선이 접할 조건

원 $x^2+y^2=10$과 직선 $x+y=k$가 접할 때 $k$의 값을 구합니다.

1. 중심 $(0,0)$, $r=\sqrt{10}>0$이고 직선 $x+y-k=0$은 실제 직선입니다.
2. 중심에서 직선까지 거리는 $d=\dfrac{|k|}{\sqrt2}$입니다.
3. 접할 조건 $d=r$에서 $\dfrac{|k|}{\sqrt2}=\sqrt{10}$, 따라서 $|k|=2\sqrt5$입니다.
4. $k=2\sqrt5$ 또는 $k=-2\sqrt5$입니다.
5. 확인: 어느 값을 넣어도 $d^2=k^2/2=10=r^2$입니다.

원 양쪽에 서로 평행한 접선이 하나씩 생깁니다.

예제 3: 중심의 대입값과 거리를 혼동한 오류

원 $(x+2)^2+(y-1)^2=9$와 직선 $4x+3y+1=0$에서 중심 대입값의 절댓값이 $|-8+3+1|=4$이므로 $4>3$, 만나지 않는다고 한 풀이를 고칩니다.

1. 중심 $(-2,1)$, 반지름 $3$이고 직선은 실제 직선입니다.
2. 대입값 $4$는 아직 거리가 아닙니다. 계수 길이 $5$로 나눠 $d=\frac45$입니다.
3. $\frac45<3$이므로 두 점에서 만납니다.
4. 확인: $d^2=\dfrac{16}{25}<9=r^2$입니다.

방법이 성립하는 이유

중심 $C$에서 직선에 내린 수선의 발을 $H$라 합시다. 교점이 있다고 가정하고 그중 하나를 $Q$라 하면 $CH=d$, $CQ=r$이고 $\triangle CHQ$는 $H$에서 직각입니다.

• $d<r$이면 $HQ^2=r^2-d^2>0$이라 $H$의 양쪽에 교점이 하나씩 있습니다.
• $d=r$이면 $HQ=0$이라 $Q=H$ 하나뿐입니다.
• $d>r$이면 $HQ^2<0$이 되어 실제 길이 $HQ$가 존재할 수 없습니다.

그래서 거리 비교가 교점 수를 정확히 결정합니다.

자주 하는 오해와 조건 점검

중심을 직선 식에 넣은 절댓값을 바로 $d$라고 하지 마세요. 반드시 $\sqrt{a^2+b^2}$로 나눕니다. 또 $d=r$은 “교점 두 개가 겹친다”보다 “수선의 발 자체가 원 위의 유일한 교점이다”라고 이해하는 편이 정확합니다.

중심에서 직선까지의 거리로 교점 수 판단하기

아래 도구에서 원의 중심과 반지름을 먼저 읽고, 직선을 움직여 보세요. 중심에서 직선까지의 거리 $d$가 반지름 $r$보다 작으면 두 점에서 만나고, 같으면 접하며, 크면 만나지 않습니다. 화면에 표시되는 $d$와 $r$을 보며 세 경우를 비교할 수 있습니다.

직접 해 보기

먼저 아래 미니 연습에서 $d$와 $r$을 비교해 보세요. 답을 제출한 뒤 필요하면 힌트와 해설을 확인합니다.

교점 좌표가 필요하지 않은 문제는 먼저 거리 판정을 선택하세요.

연습 문제

1. $x^2+y^2=16$과 $y=1$의 교점 수를 구하세요.
2. $x^2+y^2=16$과 $x=4$의 관계를 판단하세요.
3. $x^2+y^2=16$과 $y=5$의 관계를 판단하세요.
4. $(x-2)^2+(y+1)^2=9$와 $x-2=0$의 교점 수를 구하세요.
5. $(x+1)^2+(y-3)^2=4$와 $3x+4y-9=0$의 관계를 판단하세요.
6. 원 $x^2+y^2=25$에 직선 $x=k$가 접할 때 $k$를 구하세요.
7. 원 $(x-3)^2+(y-2)^2=8$과 $x+y=9$의 관계를 판단하세요.
8. $d^2=12$, $r^2=12$일 때 관계와 근거를 쓰세요.
9. “$d=0$이면 직선은 원과 만나지 않는다”의 오류를 설명하세요.
10. 원 $(x-1)^2+(y+2)^2=R$과 직선 $2x-y-4=0$이 접하고 $R>0$일 수 있는지 판단하세요.

힌트 보기

힌트와 해설

힌트

1~7. 중심에서 직선까지 거리를 구해 반지름과 비교합니다. 8. 두 값은 음수가 아닙니다. 9. 직선이 중심을 지나는 그림을 생각합니다. 10. 접할 때 $R=r^2=d^2$입니다.

정답 보기

해설

1. $r=4$, 직선은 실제 직선. $d=1<4$이므로 $2$개. 확인: $x^2=15$에서 두 $x$가 나옵니다.
2. $d=4=r$. 접합니다. 확인: 접점 $(4,0)$이 두 식을 만족합니다.
3. $d=5>4$. 만나지 않습니다. 확인: $x^2+25=16$은 불가능합니다.
4. 중심 $(2,-1)$, $r=3$. $d=0<3$이므로 $2$개. 확인: 중심을 지나는 직선입니다.
5. 중심 $(-1,3)$, $r=2$. $d=|-3+12-9|/5=0<2$, 두 점. 확인: 직선이 중심을 지납니다.
6. $d=|k|$, $r=5$. $|k|=5$에서 $k=\pm5$. 확인: 두 직선 모두 중심에서 거리 $5$입니다.
7. 중심 $(3,2)$, $r=2\sqrt2$. 직선은 $x+y-9=0$, $d=4/\sqrt2=2\sqrt2$. 접합니다. 확인: $d^2=r^2=8$입니다.
8. $d,r\ge0$. $d=r$이므로 접합니다. 확인: 양의 제곱근이 같습니다.
9. $r>0$. $d=0<r$이므로 중심을 지나는 직선은 원을 두 점에서 만납니다. 확인: 지름 방향의 양 끝점이 교점입니다.
10. 원이므로 $R>0$. 중심에서 직선까지 $d=|2+2-4|/\sqrt5=0$, 따라서 접하려면 $R=0$이어야 해 조건과 모순입니다. 확인: $R>0$이면 중심을 지나는 직선과 두 점에서 만납니다. 해가 없습니다.

다음 연결

12편에서는 같은 원과 직선의 식을 직접 연립해 교점 좌표를 구하고, 인수분해 결과의 실수해 개수가 거리 판정과 어떻게 맞는지 확인합니다.

자기 점검

• 원과 직선의 성립 조건을 먼저 확인하는가?
• 중심 대입값을 계수 길이로 나누어 $d$를 구하는가?
• $d$와 $r$의 비교를 교점 수와 연결해 설명할 수 있는가?