직선의 방정식 4 | 일반형 거리 공식과 식의 배율

오늘의 질문

직선의 식에 점의 좌표를 넣은 값은 왜 그대로 거리가 아니며, 무엇으로 나누어야 할까요?

이 글을 마치면 점 $P(x_0,y_0)$와 실제 직선 $ax+by+c=0$에서 $a,b$가 동시에 $0$이 아님을 확인하고 거리 공식을 적용할 수 있습니다. 같은 직선의 식을 0이 아닌 수로 몇 배해도 거리가 같아야 하는 이유도 설명할 수 있습니다.

선수 개념 빠른 확인

1. $(0,3)$에서 $x$축까지의 거리는 얼마인가요?
2. $3^2+4^2$의 양의 제곱근은 무엇인가요?
3. $2x-y+1=0$에 $(1,4)$를 넣은 값은 무엇인가요?

확인하기

간단 답은 $3$, $5$, $-1$입니다.

개념을 먼저 이해하기

점 $P(x_0,y_0)$와 직선

$\ell:ax+by+c=0$

에서 $(a,b)\ne(0,0)$일 때 거리는

$d(P,\ell)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

입니다.

• 분자 $|ax_0+by_0+c|$: 점을 직선 식에 넣은 어긋남의 크기입니다.
• 분모 $\sqrt{a^2+b^2}$: 식의 계수 크기를 실제 길이 기준으로 맞추는 값입니다.
• 절댓값: 직선의 어느 쪽에 있든 거리를 음수가 아닌 값으로 만듭니다.

점을 대입한 값이 $0$이면 점이 직선 위에 있으므로 거리도 $0$입니다.

예제로 확인하기

공식 사용 순서는 ‘직선 확인 → 대입 → 절댓값 → 분모 계산 → 검산’입니다.

예제 1: 기본 공식 적용

$P(1,-2)$와 $\ell:3x+4y-5=0$ 사이의 거리를 구합니다.

1. $(a,b)=(3,4)\ne(0,0)$이므로 실제 직선입니다.
2. 분자는 $|3\cdot1+4\cdot(-2)-5|=|-10|=10$입니다.
3. 분모는 $\sqrt{3^2+4^2}=5$입니다.
4. 따라서 거리는 $2$입니다.

예제 2: 같은 직선을 다른 식으로 쓴 경우

$P(0,0)$에서 $2x-2y-6=0$까지의 거리를 구합니다.

1. 계수쌍 $(2,-2)$는 $(0,0)$이 아닙니다.
2. 공식으로 $d=\dfrac{|-6|}{\sqrt{2^2+(-2)^2}}=\dfrac6{2\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt2}{2}$입니다.
3. 식을 $2$로 나눈 $x-y-3=0$을 쓰면 $d=\dfrac3{\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt2}{2}$입니다.
4. 확인: 같은 직선의 식을 0이 아닌 수로 배하면 분자와 분모가 모두 그 수의 절댓값만큼 변하므로 거리는 같습니다.

예제 3: 분모를 빠뜨린 오류 고치기

$P(2,1)$과 $6x+8y-5=0$ 사이의 거리를 $|12+8-5|=15$라고 한 풀이를 고칩니다.

1. 실제 직선이고 계수 크기는 $\sqrt{6^2+8^2}=10$입니다.
2. 대입값 $15$는 식의 계수 배율이 섞인 어긋남이지 실제 길이가 아닙니다.
3. 올바른 거리는 $\dfrac{15}{10}=\dfrac32$입니다.
4. 확인: 식을 $2$배한 $12x+16y-10=0$에 분자만 쓰면 $30$으로 바뀌지만 실제 직선은 같아야 합니다. 공식은 $30/20=3/2$로 같은 값을 줍니다.

다음에 만날 넓이의 다른 표현

점과 직선 사이 거리는 이 글에서 배운 것처럼 직선까지의 가장 짧은 길이를 구하는 데 사용합니다. 삼각형의 넓이를 좌표만으로 계산하는 다른 방법도 있습니다. 다만 지금은 새 넓이 공식을 더하지 않고, 점에서 직선까지의 거리와 식의 배율을 읽는 데 집중합니다.

식의 배율에 대해 공식값이 변하지 않는 이유

직선의 식을 0이 아닌 수 $k$배해도 나타내는 점들의 모임은 같습니다. 이때 분자는 $|k|$배가 되고 분모도

$\sqrt{(ka)^2+(kb)^2}=|k|\sqrt{a^2+b^2}$

로 $|k|$배가 됩니다. 둘을 나누면 배율이 사라집니다. 즉 분모는 식을 어떤 크기의 계수로 썼는지와 무관한 실제 길이를 만들기 위해 꼭 필요합니다. 절댓값은 대입값의 부호와 무관하게 거리를 음수가 아닌 값으로 만들기 위해 필요합니다.

자주 하는 오해와 조건 점검

공식을 외우기 전에 $a,b$가 동시에 $0$인지 봐야 합니다. $0x+0y+0=0$은 평면 전체이고 $0x+0y+3=0$은 만족하는 점이 없으므로 둘 다 직선이 아닙니다. 또 $y=2x+1$은 먼저 $2x-y+1=0$처럼 한쪽을 $0$으로 정리해야 $a,b,c$를 안전하게 읽을 수 있습니다.

거리 공식의 분모가 하는 일을 확인하기

모눈종이에 $x+y-4=0$과 점 $P(1,1)$을 그린 뒤, 같은 직선을 $3x+3y-12=0$으로도 계산해 보세요. 두 번째 식에서는 분자와 분모가 모두 세 배가 되어 거리는 같습니다. 분모 $\sqrt{a^2+b^2}$는 식의 배율을 없애 실제 길이를 남깁니다.

직접 해 보기

분자만 계산한 뒤 멈추지 말고, 동치인 직선의 식으로 다시 계산하거나 수선의 발을 구할 수 있는 경우 그 길이와 비교해 검산하세요.

연습 문제

아래 문제는 먼저 컴포넌트에서 풀어 보세요. 답을 제출하면 절댓값과 계수 길이를 빠뜨렸는지 바로 확인할 수 있습니다. 공책 풀이가 필요하면 뒤의 10문항을 이어서 풉니다.

1. $(0,0)$과 $x-5=0$ 사이의 거리를 구하세요.
2. $(2,3)$과 $y+1=0$ 사이의 거리를 구하세요.
3. $(1,1)$과 $x+y-6=0$ 사이의 거리를 구하세요.
4. $(-2,4)$와 $3x-4y+2=0$ 사이의 거리를 구하세요.
5. $(3,-1)$이 $2x+y-5=0$ 위에 있는지 거리로 확인하세요.
6. $(0,0)$과 $4x+3y+10=0$ 사이의 거리를 구하세요.
7. $y=2x-3$과 점 $(1,1)$ 사이의 거리를 구하세요.
8. 같은 직선 $x-y+2=0$, $5x-5y+10=0$에 대해 원점에서의 거리가 같은지 계산하세요.
9. 분자에 절댓값을 쓰지 않으면 생기는 문제를 설명하세요.
10. 점 $(k,0)$과 직선 $3x+4y-12=0$ 사이의 거리가 $3$이고 $k<4$일 때 $k$를 구하세요.

힌트 보기

힌트와 해설

힌트

1~2. 축과 나란한 선은 그림으로도 확인합니다. 3~7. 먼저 일반형 계수를 읽습니다. 8. 두 식에 각각 공식을 적용합니다. 9. 직선 양쪽 점을 생각합니다. 10. $|3k-12|/5=3$을 풉니다.

정답 보기

해설

1. $|0-5|/1=5$입니다. 원점에서 세로선 $x=5$까지의 가로 길이도 $5$입니다.
2. $|3+1|=4$입니다.
3. $|1+1-6|/\sqrt2=2\sqrt2$입니다.
4. $|-6-16+2|/5=4$입니다.
5. $|6-1-5|/\sqrt5=0$이므로 점은 직선 위에 있습니다.
6. $10/5=2$입니다.
7. $y=2x-3$을 $2x-y-3=0$으로 바꾸면 $|2-1-3|/\sqrt5=2/\sqrt5$입니다.
8. 첫 식은 $2/\sqrt2=\sqrt2$, 둘째 식은 $10/\sqrt{50}=\sqrt2$입니다. 둘째 식은 첫째의 $5$배입니다.
9. 대입값은 직선 쪽에 따라 음수가 될 수 있습니다. 거리는 길이이므로 절댓값이 필요합니다.
10. $|3k-12|=15$에서 $k=9$ 또는 $-1$입니다. $k<4$이므로 $k=-1$입니다.

다음 연결

09편에서는 한 점에서 거리가 일정한 점들을 모으면 어떤 식과 도형이 되는지 살펴보며 원의 방정식을 만듭니다.

자기 점검

• 직선을 일반형으로 정리하고 $(a,b)\ne(0,0)$을 확인하는가?
• 절댓값과 분모의 역할을 각각 설명할 수 있는가?
• 같은 직선의 식을 0이 아닌 수로 몇 배해도 거리가 같은지 검산할 수 있는가?