도형의 이동 4 | 선택 종합: 이동의 합성과 되돌림

오늘의 질문

여러 이동을 차례로 적용할 때 왜 순서를 기록해야 하며, 원래 위치로 돌아갈 때는 왜 반대 순서로 취소해야 할까요?

이 글을 마치면 두 이동을 주어진 순서로 적용해 최종 좌표를 구하고, 평행이동과 대칭이동의 역변환을 이용해 원래 점을 복원할 수 있습니다. 또 순서를 바꾼 두 결과가 같은지 실제 좌표로 비교할 수 있습니다.

선수 개념 빠른 확인

1. $(2,-1)$을 $(3,4)$만큼 평행이동한 점은 무엇인가요?
2. $(-5,2)$의 $y$축 대칭점은 무엇인가요?
3. 오른쪽으로 $6$ 이동을 취소하려면 어느 방향으로 얼마만큼 이동해야 하나요?

선수 개념 정답 보기

간단 답은 $(5,3)$, $(5,2)$, 왼쪽으로 $6$입니다.

개념을 먼저 이해하기

• 변환: 점을 정해진 규칙에 따라 다른 점으로 보내는 과정입니다.
• 합성: 두 변환을 차례로 적용하는 것입니다.
• 역변환: 변환 결과를 원래 점으로 되돌리는 변환입니다.
• 순서: 먼저 한 변환과 나중에 한 변환의 차례입니다.

이 글에서 $T$ 뒤에 $S$를 적용한 결과를 $S\circ T$라고 씁니다. 기호는 오른쪽의 $T$부터 읽습니다.

• $(p,q)$ 평행이동의 역변환: $(-p,-q)$ 평행이동
• $x$축, $y$축, 원점, $y=x$ 대칭의 역변환: 같은 대칭

$T$ 다음 $S$를 되돌릴 때는 마지막 변환부터 취소하여 $S^{-1}$ 다음 $T^{-1}$ 순서로 적용합니다.

예제로 확인하기

중간 좌표를 한 줄씩 남기면 순서 오류와 부호 오류를 동시에 줄일 수 있습니다.

예제 1: 두 이동 합성하기

$P(-1,3)$을 먼저 $y$축에 대칭한 뒤, 오른쪽 $4$, 아래 $2$만큼 평행이동합니다.

1. 첫 변환은 $(x,y)\to(-x,y)$, 둘째 이동량은 $(4,-2)$입니다.
2. $(-1,3)\to(1,3)$입니다.
3. $(1,3)\to(5,1)$입니다.
4. 확인: $(5,1)$에서 먼저 $(-4,2)$만큼 이동하면 $(1,3)$, 다시 $y$축 대칭하면 $(-1,3)$으로 돌아옵니다.

예제 2: 순서를 바꾸면 달라지는 경우

$P(2,1)$에 ‘오른쪽 $3$ 이동’과 ‘원점 대칭’을 두 순서로 적용합니다.

1. 평행이동은 $(x,y)\to(x+3,y)$, 원점 대칭은 $(x,y)\to(-x,-y)$입니다.
2. 이동 후 대칭: $(2,1)\to(5,1)\to(-5,-1)$입니다.
3. 대칭 후 이동: $(2,1)\to(-2,-1)\to(1,-1)$입니다.
4. 확인: 최종점의 $x$좌표가 $-5$와 $1$로 다릅니다.

따라서 두 변환은 일반적으로 순서를 바꿀 수 없습니다.

예제 3: 되돌림 순서를 잘못 잡은 풀이 고치기

어떤 점에 먼저 $x$축 대칭, 다음 $(2,5)$ 평행이동을 했더니 $(7,1)$이 되었습니다. 같은 순서로 취소하려 한 오류를 고칩니다.

1. 마지막에 한 일은 $(2,5)$ 평행이동입니다.
2. 먼저 역이동 $(-2,-5)$를 적용하면 $(7,1)\to(5,-4)$입니다.
3. 그다음 $x$축 대칭을 다시 적용하면 원래 점 $(5,4)$입니다.
4. 확인: $(5,4)\to(5,-4)\to(7,1)$로 처음 변환을 순서대로 다시 적용하면 결과가 맞습니다.

방법이 성립하는 이유

양말을 신고 신발을 신었다면 벗을 때는 신발을 먼저 벗어야 합니다. 좌표 변환도 마찬가지입니다. $P$가 $T$를 거쳐 $Q$, 다시 $S$를 거쳐 $R$이 되었다면 $R$에서 바로 취소할 수 있는 것은 마지막 관계 $S$입니다. $S^{-1}$로 $Q$를 되찾은 뒤에야 $T^{-1}$로 $P$를 되찾을 수 있습니다.

자주 하는 오해와 조건 점검

두 변환이 모두 단순해 보여도 순서를 자동으로 바꾸면 안 됩니다. 다만 같은 축 대칭을 두 번 하면 원래 점으로 돌아오고, 두 평행이동은 이동량을 더한 결과가 같아서 순서를 바꿔도 됩니다. 어떤 경우인지 확인하지 않은 채 ‘항상 같다’고 추측하지 말고 일반적인 점 $(x,y)$로 각각 계산해 비교하세요. 실제 점의 비교는 결과가 다름을 보이는 반례로 사용할 수 있습니다.

변환 순서를 바꿔 결과를 비교하기

점 $(1,2)$에 ‘오른쪽 $2$ 이동 후 $y$축 대칭’과 반대 순서를 각각 적용해 보세요. 두 경로의 중간 좌표와 최종 좌표를 나란히 쓰면 결과가 다른 이유를 확인할 수 있습니다. 역변환은 마지막 변환부터 취소합니다.

02~16편의 내용을 묶어 확인하려면 아래 단원 점검을 사용하세요. 오답은 해설에서 어느 변환 순서가 바뀌었는지 확인하면 됩니다.

직접 해 보기

먼저 아래 미니 연습에서 순서와 역변환을 확인해 보세요. 답을 제출한 뒤 필요하면 힌트와 해설을 확인합니다.

각 문제에서 변환 하나마다 중간 좌표를 쓰세요. 특히 5, 7, 10번은 역변환으로 원래 점을 되찾아 검산해 보세요.

연습 문제

1. $(1,-2)$를 먼저 $(3,1)$만큼 옮기고 다음 $x$축에 대칭이동하세요.
2. $(-4,2)$를 먼저 $y=x$에 대칭하고 다음 왼쪽으로 $5$ 옮기세요.
3. $(3,1)$을 먼저 원점에 대칭하고 다음 위로 $4$ 옮기세요.
4. $(2,5)$를 $x$축에 두 번 대칭이동한 결과를 구하세요.
5. $(1,1)$에 오른쪽 $2$ 이동 후 $y$축 대칭을 적용한 결과와 반대 순서의 결과를 각각 구하세요.
6. $(4,-3)$에 적용한 마지막 변환이 아래로 $7$ 이동이었다면, 그 직전 점을 구하세요.
7. 어떤 점을 $y$축에 대칭한 뒤 $(3,-2)$만큼 옮겼더니 $(8,4)$가 되었습니다. 원래 점을 구하세요.
8. 임의의 실수 $p,q$에 대한 $(p,q)$ 평행이동 뒤 그 역변환을 적용하면 원래 점이 되는 이유를 좌표로 보이세요.
9. “두 변환을 되돌릴 때도 항상 처음과 같은 순서로 역변환한다”의 오류를 설명하세요.
10. 원 $x^2+y^2=4$를 먼저 오른쪽 $3$만큼 옮기고 다음 $y$축에 대칭이동한 식을 구한 뒤, 중심을 역변환해 검산하세요.

힌트 보기

힌트와 해설

힌트

1~5. 변환 하나마다 중간 좌표를 씁니다. 6~7. 마지막 변환부터 취소합니다. 8. 일반점 $(x,y)$에서 계산합니다. 9. 세 단계의 연결을 거꾸로 읽습니다. 10. 중심을 차례로 옮기면 빠릅니다.

정답 보기

해설

1. 이동 후 대칭 순서. $(1,-2)\to(4,-1)\to(4,1)$. 확인: $x$축 대칭 후 $(-3,-1)$ 역이동으로 원래 점 $(1,-2)$에 돌아갑니다.
2. 대칭 후 이동 순서. $(-4,2)\to(2,-4)\to(-3,-4)$. 확인: 오른쪽 $5$ 후 $y=x$ 대칭으로 $(-4,2)$입니다.
3. 원점 대칭 후 이동. $(3,1)\to(-3,-1)\to(-3,3)$. 확인: 아래 $4$, 원점 대칭 순으로 되돌리면 $(3,1)$입니다.
4. 같은 대칭 두 번. $(2,5)\to(2,-5)\to(2,5)$. 확인: 원래 점과 같습니다.
5. 순서를 구별. 이동 후 대칭은 $(1,1)\to(3,1)\to(-3,1)$, 대칭 후 이동은 $(1,1)\to(-1,1)\to(1,1)$. 확인: 최종점이 다릅니다.
6. 마지막이 아래 $7$. 역은 위 $7$이므로 직전 점은 $(4,4)$. 확인: 아래로 $7$ 가면 $(4,-3)$입니다.
7. 마지막 이동부터 취소. $(8,4)\to(5,6)\to(-5,6)$. 원래 점은 $(-5,6)$. 확인: $y$축 대칭 후 $(3,-2)$ 이동하면 $(8,4)$입니다.
8. 이동량은 임의의 실수. $(x,y)\to(x+p,y+q)\to(x+p-p,y+q-q)=(x,y)$. 확인: 각 좌표의 변화가 $0$입니다.
9. 마지막 결과는 마지막 변환과 직접 연결됩니다. 일반적으로 마지막 변환의 역을 먼저 해야 중간점을 되찾습니다. 확인: 예제 3에서 같은 순서로 하면 원래 점이 나오지 않습니다.
10. 원의 반지름 $2>0$. 중심 $(0,0)\to(3,0)\to(-3,0)$, 새 식은 $(x+3)^2+y^2=4$. 확인: 중심을 $y$축 대칭 후 왼쪽 $3$ 역이동하면 $(0,0)$이고 반지름은 그대로입니다.

다음 연결

도형의 방정식에서는 좌표와 식으로 위치·거리·이동을 다뤘습니다. 17편부터는 조건을 만족하는 대상을 하나의 모임으로 묶는 집합으로 넘어가며, ‘어떤 조건을 만족하는가’를 더 분명하게 표현합니다.

자기 점검

• 합성 기호를 오른쪽 변환부터 읽고 중간 좌표를 쓰는가?
• 역변환의 종류와 취소 순서를 설명할 수 있는가?
• 순서를 바꿔도 같은지 추측이 아니라 좌표로 확인하는가?
• 단원 점검에서 틀린 문항의 조건과 검산을 다시 적었는가?