직선의 방정식 3 | 수선의 발과 최단거리

오늘의 질문

점에서 직선 위의 수많은 점 가운데 왜 수직으로 만나는 점까지의 길이를 거리라고 할까요?

이 글을 마치면 수선의 발이 만족해야 할 두 조건을 확인하고, 간단한 직선에서 수선의 발을 구하며, 피타고라스 정리로 수선 길이가 유일한 최단거리임을 설명할 수 있습니다.

선수 개념 빠른 확인

1. $(3,4)$와 $(3,0)$ 사이의 거리는 얼마인가요?
2. 직각삼각형의 두 직각변이 $3$, $4$이면 빗변은 얼마인가요?
3. $x$축의 식은 무엇인가요?

확인하기

간단 답은 $4$, $5$, $y=0$입니다.

개념을 먼저 이해하기

• 수선: 주어진 직선과 수직으로 만나는 직선 또는 선분입니다.
• 수선의 발 $H$: 점 $P$에서 직선 $\ell$에 내린 수선이 $\ell$과 만나는 점입니다.
• 점과 직선 사이의 거리 $d(P,\ell)$: $P$에서 $\ell$ 위의 점까지 갈 수 있는 길이 중 가장 짧은 길이입니다.

$P\notin\ell$일 때 수선의 발 $H$는 두 조건을 모두 만족해야 합니다.

$H\in\ell,\qquad PH\perp\ell$

그리고 거리는 $d(P,\ell)=PH$입니다. $P$가 이미 $\ell$ 위에 있으면 수선의 발을 따로 내리지 않고 $H=P$, 거리를 $0$으로 정합니다. 이때 길이 $0$인 선분에는 방향이 없으므로 수직 조건을 적용하지 않습니다.

예제로 확인하기

수선의 발을 찾은 뒤에는 ‘직선 위’와 ‘수직’ 두 조건을 따로 검산합니다.

예제 1: 좌표축까지의 최단거리

$P(-2,5)$에서 $x$축까지의 수선의 발과 거리를 구합니다.

1. $x$축은 가로선 $y=0$입니다.
2. 수직으로 내려가면 $x$좌표는 그대로이므로 $H(-2,0)$입니다.
3. $PH=|5-0|=5$입니다.
4. 확인: $H$의 $y$좌표가 $0$이므로 $H$는 $x$축 위에 있고, $PH$는 세로선이므로 $x$축과 수직입니다.

예제 2: 기울기를 이용해 수선의 발 찾기

$P(1,5)$에서 $\ell:y=x$에 내린 수선의 발을 구합니다.

1. $\ell$의 기울기는 $1$이고 $P$는 $5\ne1$이므로 직선 밖에 있습니다.
2. 수선의 기울기는 $-1$이므로 $P$를 지나는 수선은 $y-5=-(x-1)$, 즉 $y=-x+6$입니다.
3. $y=x$와 연립하면 $x=-x+6$에서 $x=3$, $y=3$입니다. 따라서 $H(3,3)$입니다.
4. 거리는 $PH=\sqrt{(3-1)^2+(3-5)^2}=2\sqrt2$입니다.
5. 확인: $H$는 $y=x$를 만족하고 두 직선의 기울기 곱은 $1\cdot(-1)=-1$입니다.

예제 3: 가까워 보이는 점을 고른 오류

$P(0,3)$에서 $x$축 위의 $Q(2,0)$까지의 길이 $\sqrt{13}$을 최단거리라고 한 풀이를 고칩니다.

1. $Q$는 $x$축 위지만 $PQ$는 세로선이 아니므로 $x$축과 수직이 아닙니다.
2. 수선의 발은 $H(0,0)$이고 $PH=3$입니다.
3. $PQ^2=13$, $PH^2=9$이므로 $PQ>PH$입니다.
4. 확인: $Q$ 대신 $H$를 택하면 $H$는 직선 위이고 $PH\perp x$축입니다.

직선 위에 있다는 조건만으로는 최단점이 되지 않습니다.

방법이 성립하는 이유

먼저 $P\notin\ell$인 경우를 봅시다. 직선 $\ell$ 위에서 $H$가 수선의 발이고 $Q\ne H$인 다른 점이라고 합시다. $HQ$는 $\ell$ 위의 양의 길이를 가진 선분이므로 $PH\perp HQ$이고, $\triangle PHQ$는 직각삼각형입니다. 피타고라스 정리에 따라

$PQ^2=PH^2+HQ^2$

입니다. $Q\ne H$이면 $HQ^2>0$이어서 $PQ^2>PH^2$, 따라서 $PQ>PH$입니다. $Q=H$일 때만 길이가 같습니다. 한편 $P\in\ell$이면 $H=P$, $PH=0$이고 $Q\ne P$인 모든 $Q\in\ell$에 대해 $PQ>0$입니다. 따라서 이 경우에도 $H=P$가 유일한 최단점입니다.

자주 하는 오해와 조건 점검

눈금 그림에서 가까워 보이는 점을 고르는 것은 근거가 아닙니다. 반드시 $H\in\ell$과 $PH\perp\ell$을 모두 확인해야 합니다. 또 거리가 $0$인 경우를 빠뜨리지 마세요. 점이 직선 위에 있으면 별도의 긴 수선을 그릴 필요 없이 그 점 자체가 수선의 발입니다.

가장 짧은 경로를 직접 표시해 보기

종이에 가로선 $\ell$과 그 위가 아닌 점 $P$를 표시하세요. 삼각자로 수선을 내려 발 $H$를 찍고, 선 위의 다른 점 세 곳까지 선분을 그어 길이를 비교합니다. $H$에서 멀어진 점으로 갈수록 $HQ$가 생겨 $PQ$가 더 길어집니다. 그래서 수선의 길이가 가장 짧습니다.

직접 해 보기

먼저 아래 미니 연습에서 수선의 발 조건을 점검해 보세요. 답을 제출한 뒤 필요하면 힌트와 해설을 확인합니다.

거리만 묻더라도 수선의 발 조건을 먼저 떠올리세요.

연습 문제

1. $(4,-6)$에서 $x$축까지의 수선의 발을 구하세요.
2. $(-3,2)$에서 $y$축까지의 거리를 구하세요.
3. $(5,1)$에서 $y=4$까지의 수선의 발과 거리를 구하세요.
4. $(-2,7)$에서 $x=-5$까지의 수선의 발과 거리를 구하세요.
5. $(2,2)$에서 $y=x$까지의 거리를 구하세요.
6. $P(0,4)$, $H(2,2)$일 때 $H$가 $y=x$에 대한 수선의 발인지 확인하세요.
7. $P(1,4)$에서 $y=-x+1$에 내린 수선의 기울기를 구하세요.
8. $PH=5$, $HQ=12$이고 $PH\perp HQ$일 때 $PQ$를 구하세요.
9. “직선 위의 점이면 모두 수선의 발이다”의 오류를 설명하세요.
10. $P(2,5)$에서 $y=x+1$에 내린 수선의 발과 거리를 구하세요.

힌트 보기

힌트와 해설

힌트

1~4. 축 또는 직선과 수직인 방향으로 한 좌표만 바꿉니다. 5. 점이 직선 위인지 먼저 대입합니다. 6. 직선 위 조건과 기울기 조건을 봅니다. 7. 음의 역수를 구합니다. 8. 피타고라스 정리를 씁니다. 9. 두 조건 중 빠진 것을 찾습니다. 10. 수선의 기울기는 $-1$입니다.

정답 보기

해설

1. $x$축은 $y=0$. $H(4,0)$. 확인: $H$는 축 위이고 $PH$는 세로입니다.
2. $y$축은 $x=0$. 거리는 $|-3|=3$. 확인: 수선의 발 $(0,2)$까지 가로 길이가 $3$입니다.
3. $y=4$는 가로선. $H(5,4)$, 거리 $3$. 확인: $PH$는 세로선입니다.
4. $x=-5$는 세로선. $H(-5,7)$, 거리 $3$. 확인: $PH$는 가로선입니다.
5. $2=2$이므로 점이 직선 위입니다. 거리 $0$. 확인: 수선의 발은 점 자체입니다.
6. $H$는 $2=2$로 직선 위입니다. $PH$의 기울기는 $-1$이라 $y=x$와 수직입니다. 따라서 맞습니다. 확인: 두 조건이 모두 성립합니다.
7. 원래 기울기는 $-1$. 수선의 기울기는 $1$. 확인: 곱이 $-1$입니다.
8. 직각삼각형입니다. $PQ=\sqrt{5^2+12^2}=13$. 확인: $169=25+144$입니다.
9. 수선의 발은 직선 위에 있으면서 연결선이 수직이어야 합니다. 확인: 직선 위 다른 점은 빗변을 만듭니다.
10. $P$는 $5\ne3$이라 직선 밖입니다. 수선은 $y-5=-(x-2)$, 원래 선과 연립해 $H(3,4)$. 거리 $\sqrt2$. 확인: $4=3+1$이고 두 기울기 곱이 $-1$입니다.

다음 연결

08편에서는 수선의 발을 매번 연립하지 않고도 일반형 직선까지의 길이를 바로 구하는 공식을 배우고, 분모가 필요한 이유를 확인합니다.

자기 점검

• 수선의 발의 두 조건을 모두 말할 수 있는가?
• 점이 직선 위인 거리 $0$의 경우를 처리할 수 있는가?
• 피타고라스 정리로 다른 경로가 더 긴 이유를 설명할 수 있는가?