원의 방정식 1 | 중심과 반지름에서 식 만들기

오늘의 질문

중심에서 같은 거리만큼 떨어진 모든 점을 하나의 식으로 어떻게 나타낼까요?

이 글을 마치면 중심 $C(a,b)$와 양의 반지름 $r$에서 원의 방정식을 만들고, 주어진 점이 원 위·안·밖 중 어디에 있는지 거리의 제곱으로 판정할 수 있습니다.

선수 개념 빠른 확인

1. $(1,2)$와 $(4,6)$ 사이 거리의 제곱은 얼마인가요?
2. $x-(-3)$을 간단히 쓰세요.
3. 반지름이 $5$이면 반지름의 제곱은 얼마인가요?

선수 개념 정답 보기

간단 답은 $25$, $x+3$, $25$입니다.

개념을 먼저 이해하기

• 원: 한 점에서 같은 양의 거리만큼 떨어진 점들의 모임입니다.
• 중심 $C(a,b)$: 거리를 재는 기준점입니다.
• 반지름 $r$: 중심에서 원 위의 점까지의 일정한 거리이며 $r>0$입니다.
• 원 위의 임의의 점 $P(x,y)$: 원 위에서 위치가 아직 정해지지 않은 한 점입니다.

$CP=r$을 거리 공식으로 쓰면

$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r$

이고 양변을 제곱하면

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

입니다. 이것을 중심 $C(a,b)$, 반지름 $r$인 원의 표준형 방정식이라 합니다.

예제로 확인하기

괄호 안 부호는 중심 좌표와 반대처럼 보이지만, 실제로는 ‘점 좌표에서 중심 좌표를 뺀 차’입니다.

예제 1: 중심과 반지름에서 식 만들기

중심 $C(3,-2)$, 반지름 $4$인 원의 방정식을 구합니다.

1. 반지름 $4>0$이므로 원이 정해집니다.
2. 가로 차는 $x-3$, 세로 차는 $y-(-2)=y+2$입니다.
3. 거리의 제곱을 $4^2$과 같게 두면 $(x-3)^2+(y+2)^2=16$입니다.
4. 확인: 중심에서 오른쪽으로 $4$ 간 점 $(7,-2)$를 넣으면 $16+0=16$입니다.

예제 2: 원 위·안·밖 판단하기

원 $(x+1)^2+(y-3)^2=20$과 점 $A(1,7)$의 관계를 봅니다.

1. 중심은 $(-1,3)$이고 $r^2=20>0$입니다.
2. $A$에서 중심까지 거리의 제곱은 $(1+1)^2+(7-3)^2=4+16=20$입니다.
3. $20=r^2$이므로 $A$는 원 위에 있습니다.
4. 확인: $A$를 원의 식에 직접 넣어 왼쪽과 오른쪽이 모두 $20$인지 확인했습니다.

왼쪽 값이 $r^2$보다 작으면 원 안, 크면 원 밖입니다.

예제 3: 부호와 제곱을 함께 고치기

중심 $(-2,5)$, 반지름 $3$인 원을 $(x-2)^2+(y+5)^2=3$이라고 쓴 오류를 고칩니다.

1. 중심 좌표를 빼야 하므로 가로 차는 $x-(-2)=x+2$, 세로 차는 $y-5$입니다.
2. 오른쪽은 거리 $3$이 아니라 거리의 제곱 $9$입니다.
3. 올바른 식은 $(x+2)^2+(y-5)^2=9$입니다.
4. 확인: 중심에서 위로 $3$ 간 $(-2,8)$을 넣으면 $0+9=9$입니다. 틀린 식에는 맞지 않습니다.

방법이 성립하는 이유

원 위의 모든 점은 중심까지 거리가 $r$이고, 거리 공식의 양변은 음수가 아닙니다. 따라서 거리식을 제곱해도 다른 점이 새로 들어오지 않습니다. 반대로 제곱식이 $r^2$을 만족하면 왼쪽의 양의 제곱근이 $r$이므로 중심까지 거리가 정확히 $r$입니다. 식과 거리 조건이 양쪽 방향으로 같은 점들을 나타냅니다.

자주 하는 오해와 조건 점검

$r=0$이면 식을 만족하는 점은 중심 하나뿐이고 보통 원이라 하지 않습니다. 표준형에서 오른쪽 값이 음수이면 실수 좌표에서 만족할 점이 없습니다. 또한 $(x-a)^2$를 보고 중심의 $x$좌표를 $-a$로 읽지 마세요. 괄호 전체를 $x-(\text{중심의 }x\text{좌표})$로 읽으면 부호 오류가 줄어듭니다.

중심과 반지름에서 원을 그려 보기

모눈종이에 중심 $C(2,1)$을 표시하고 실을 이용해 반지름 $3$인 원을 그려 보세요. $(5,1)$, $(-1,1)$, $(2,4)$, $(2,-2)$를 찍어 식 $(x-2)^2+(y-1)^2=9$에 대입합니다. 가로 차와 세로 차는 달라도 제곱의 합은 모두 $9$입니다. 이것이 원의 방정식이 뜻하는 거리 조건입니다.

직접 해 보기

먼저 아래 미니 연습에서 중심·반지름과 점의 위치를 확인해 보세요. 답을 제출한 뒤 필요하면 힌트와 해설을 확인합니다.

식을 만들 때마다 중심에서 상하좌우로 반지름만큼 간 점 하나를 대입해 검산하세요.

연습 문제

1. 중심 $(0,0)$, 반지름 $6$인 원의 방정식을 쓰세요.
2. 중심 $(2,3)$, 반지름 $5$인 원의 방정식을 쓰세요.
3. 중심 $(-4,1)$, 반지름 $2$인 원의 방정식을 쓰세요.
4. $(x-1)^2+(y+2)^2=9$의 중심과 반지름을 구하세요.
5. 점 $(4,-2)$가 4번 원 위에 있는지 확인하세요.
6. 점 $(1,-1)$은 4번 원의 안·위·밖 중 어디에 있나요?
7. 중심이 $(3,4)$이고 원점을 지나는 원의 반지름과 식을 구하세요.
8. 중심이 $y$축 위의 $(0,-3)$이고 반지름이 $\sqrt7$인 원의 식을 쓰세요.
9. 중심이 $(2,-1)$일 때 표준형의 왼쪽을 $(x+2)^2+(y-1)^2$로 쓴 오류를 설명하세요.
10. 원 $(x-a)^2+(y-2)^2=25$가 점 $(1,6)$을 지나고 $a>1$일 때 $a$를 구하세요.

힌트 보기

힌트와 해설

힌트

1~3. 좌표를 각각 $x-a$, $y-b$에 넣습니다. 4. 괄호를 ‘좌표 빼기 중심’으로 읽습니다. 5~6. 왼쪽 값을 $9$와 비교합니다. 7. 중심과 원점 사이 거리를 구합니다. 8. $(\sqrt7)^2=7$. 9. 실제 중심을 괄호에서 되읽습니다. 10. 점을 대입합니다.

정답 보기

해설

1. $6>0$. $x^2+y^2=36$. 확인: $(6,0)$을 넣으면 참입니다.
2. $5>0$. $(x-2)^2+(y-3)^2=25$. 확인: $(2,8)$을 넣으면 참입니다.
3. $2>0$. $(x+4)^2+(y-1)^2=4$. 확인: $(-2,1)$을 넣으면 참입니다.
4. 오른쪽 $9>0$. 중심 $(1,-2)$, 반지름 $3$. 확인: 표준형과 일치합니다.
5. 4번은 원입니다. $(4-1)^2+0^2=9$이므로 위에 있습니다. 확인: 중심까지 거리가 $3$입니다.
6. 왼쪽은 $0^2+1^2=1<9$. 원 안입니다. 확인: 중심까지 거리 $1<3$입니다.
7. 원점은 원 위입니다. 반지름은 $\sqrt{3^2+4^2}=5$, 식은 $(x-3)^2+(y-4)^2=25$. 확인: 원점을 넣으면 $25$입니다.
8. 반지름은 양수. $x^2+(y+3)^2=7$. 확인: 중심 위쪽의 $(0,-3+\sqrt7)$이 만족합니다.
9. 중심 좌표를 빼야 합니다. 올바른 표준형의 왼쪽은 $(x-2)^2+(y+1)^2$입니다. 확인: 각 괄호를 $0$으로 만드는 점이 $(2,-1)$입니다.
10. $a>1$. $(1-a)^2+16=25$에서 $(1-a)^2=9$, $a=4$ 또는 $-2$. 조건에 맞는 값은 $4$. 확인: $(1-4)^2+16=25$입니다.

다음 연결

10편에서는 전개되어 중심이 바로 보이지 않는 식을 완전제곱으로 묶어, 실제 원인지 확인하고 중심과 반지름을 되찾습니다.

자기 점검

• 원을 ‘중심에서 일정한 거리인 점들의 모임’으로 설명할 수 있는가?
• 중심 좌표와 괄호 부호를 혼동하지 않는가?
• $r>0$과 오른쪽 값의 의미를 확인하는가?