원의 방정식 4 | 연립방정식으로 원과 직선의 관계 확인하기

오늘의 질문

원과 직선이 만나는 실제 좌표가 필요할 때 두 식을 어떻게 함께 풀어야 할까요?

이 글을 마치면 직선 식을 원의 식에 대입하여 한 문자에 대한 식을 만들고, 인수분해·제곱식·제곱의 음수 여부로 실수해 개수를 판단해 교점 수와 좌표를 구할 수 있습니다. 별도 도입 없이 판별식은 사용하지 않습니다.

선수 개념 빠른 확인

1. $x^2-5x+6=0$의 해를 구하세요.
2. $x^2=0$의 서로 다른 실수해는 몇 개인가요?
3. $x^2=-4$를 만족하는 실수 $x$가 있나요?

선수 개념 정답 보기

간단 답은 $2,3$, $1$개, 없습니다.

개념을 먼저 이해하기

• 연립방정식: 같은 좌표가 여러 식을 동시에 만족하도록 함께 푸는 식의 모임입니다.
• 실수해: 수직선 위의 실제 수로 나타낼 수 있는 해입니다.
• 교점: 원의 식과 직선의 식을 동시에 만족하는 좌표입니다.

직선에서 한 문자를 다른 문자로 나타내 원에 대입하면 한 문자만 남는 이차식이 됩니다.

• 서로 다른 실수해 $2$개: 교점 $2$개
• 실수해 $1$개: 접점 $1$개
• 실수해 없음: 교점 없음

한 문자의 해를 구한 뒤 반드시 직선 식으로 나머지 좌표를 구하고, 완성된 좌표를 두 원래 식에 대입해 검산합니다.

예제로 확인하기

거리 판정은 교점 수만 빠르게 알려 주지만, 연립은 좌표까지 구할 수 있다는 차이가 있습니다.

예제 1: 서로 다른 두 교점 구하기

원 $x^2+y^2=25$와 직선 $y=x+1$을 연립합니다.

1. 반지름 $5>0$인 원이고 직선도 실제 직선입니다.
2. $y=x+1$을 원에 넣으면 $x^2+(x+1)^2=25$입니다.
3. 정리하면 $2x^2+2x-24=0$이고, 양변을 $2$로 나누면 $(x+4)(x-3)=0$입니다.
4. $x=-4,3$이고 $y=x+1$에서 $y=-3,4$입니다.
5. 교점은 $(-4,-3)$, $(3,4)$입니다.
6. 확인: 두 점 모두 $x^2+y^2=25$와 $y=x+1$을 만족합니다.

예제 2: 제곱식 하나가 남는 접선

원 $(x-2)^2+(y+1)^2=9$와 직선 $y=2$를 연립합니다.

1. 원의 반지름은 $3$, 직선은 가로선입니다.
2. $y=2$를 넣으면 $(x-2)^2+9=9$입니다.
3. $(x-2)^2=0$이므로 $x=2$ 하나뿐입니다.
4. 접점은 $(2,2)$입니다.
5. 확인: $(2,2)$를 원에 넣으면 $0+9=9$이고 직선 식도 만족합니다. 중심 $(2,-1)$에서 직선까지 거리도 $3$입니다.

예제 3: 음수와 근 누락 오류 고치기

원 $x^2+y^2=13$과 직선 $y=4$에서 $x^2=-3$을 얻고 $x=-\sqrt3$이라고 쓴 풀이를 고칩니다.

1. 반지름 $\sqrt{13}>0$이고 직선은 실제 직선입니다.
2. 대입하면 $x^2+16=13$, 즉 $x^2=-3$입니다.
3. 실수의 제곱은 음수가 될 수 없으므로 실수해가 없습니다.
4. 따라서 교점이 없습니다.
5. 확인: 중심에서 $y=4$까지 거리 $4$는 반지름 $\sqrt{13}$보다 큽니다.

$\sqrt3$의 제곱은 $3$이고 $-\sqrt3$의 제곱도 $3$이지 $-3$이 아닙니다.

방법이 성립하는 이유

교점은 두 식을 동시에 만족해야 합니다. 직선의 $y$를 원의 식에 대신 넣는 것은 직선 위의 점만 후보로 남기는 과정입니다. 대입 후 얻은 각 실수 $x$에 직선이 하나의 $y$를 정해 주므로 서로 다른 $x$해의 수와 교점 수가 같습니다. 단, $x=k$ 같은 세로선은 $x$를 원에 직접 넣고 $y$해를 세면 됩니다.

자주 하는 오해와 조건 점검

이차식이 나왔다는 이유만으로 교점이 두 개라고 하지 마세요. $(x-1)^2=0$은 해가 하나이고, $x^2=-2$는 실수해가 없습니다. 또한 $x^2=9$에서 $x=3$만 쓰면 교점 하나를 놓칩니다. $x=\pm3$을 모두 확인하세요.

연립한 식과 거리 판단을 비교하기

원 $x^2+y^2=16$에 가로선 $y=k$를 대입해 $x^2=16-k^2$를 만듭니다. $k=1,4,5$에서 오른쪽 값을 차례로 계산해 보세요. 양수·$0$·음수일 때 실수해 수가 $2$·$1$·$0$이 되므로, 원과 직선의 교점 수도 그 순서로 바뀝니다.

직접 해 보기

먼저 아래 미니 연습에서 대입 뒤 실수해의 개수를 세어 보세요. 답을 제출한 뒤 필요하면 힌트와 해설을 확인합니다.

좌표가 필요하면 연립하고, 관계만 필요하면 11편의 거리 판정으로 검산하세요.

연습 문제

1. $x^2+y^2=9$와 $y=0$의 교점을 구하세요.
2. $x^2+y^2=9$와 $x=3$의 교점을 구하세요.
3. $x^2+y^2=9$와 $y=4$의 교점 수를 구하세요.
4. $x^2+y^2=10$과 $y=x$의 교점을 구하세요.
5. $(x-1)^2+(y-2)^2=4$와 $y=2$의 교점을 구하세요.
6. $(x+2)^2+y^2=5$와 $x=-1$의 교점을 구하세요.
7. $x^2+y^2=5$와 $y=x+1$의 교점을 구하세요.
8. 실제 원과 실제 직선을 직접 대입해 얻은 식이 $(x-3)^2=0$이고 나머지 좌표도 하나로 정해질 때 위치 관계를 말하세요.
9. “$x^2=16$의 해는 $4$뿐”이라는 오류가 교점 문제에서 어떤 누락을 만드는지 설명하세요.
10. 원 $x^2+y^2=25$와 직선 $y=k$가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 정수 $k$의 범위를 쓰세요.

힌트 보기

힌트와 해설

힌트

1~7. 한 식을 다른 식에 대입한 뒤 모든 실수해를 구합니다. 8. 서로 다른 해의 수를 셉니다. 9. 음의 해를 확인합니다. 10. $x^2=25-k^2$이 양수가 되게 합니다.

정답 보기

해설

1. 원과 직선이 성립. $x^2=9$에서 $(-3,0),(3,0)$. 확인: 두 점 모두 두 식을 만족합니다.
2. 세로선을 직접 대입. $9+y^2=9$에서 $(3,0)$ 하나. 확인: 중심 거리 $3=r$입니다.
3. $x^2+16=9$는 불가능. $0$개. 확인: 직선까지 거리 $4>3$입니다.
4. $2x^2=10$. $(\sqrt5,\sqrt5)$, $(-\sqrt5,-\sqrt5)$. 확인: 각 점의 제곱합은 $10$입니다.
5. $(x-1)^2=4$. $(-1,2),(3,2)$. 확인: 두 점 모두 중심에서 거리 $2$입니다.
6. $1+y^2=5$. $(-1,2),(-1,-2)$. 확인: 두 점 모두 원과 세로선을 만족합니다.
7. $x^2+(x+1)^2=5$, 즉 $(x+2)(x-1)=0$. 교점 $(-2,-1),(1,2)$. 확인: 두 식에 각각 대입하면 참입니다.
8. 실수해가 $x=3$ 하나이고 나머지 좌표도 직선으로 하나로 정해집니다. 따라서 접합니다. 확인: 제곱식이 $0$이 되는 값은 하나입니다.
9. $x=\pm4$입니다. 음의 해에 대응하는 두 번째 교점을 놓칩니다. 확인: 두 값을 제곱하면 모두 $16$입니다.
10. 원과 가로선이 실제로 성립. $25-k^2>0$, 즉 $-5<k<5$. 정수는 $-4$부터 $4$까지입니다. 확인: 끝값 $\pm5$에서는 교점 하나이므로 제외합니다.

다음 연결

13편에서는 도형과 직선의 관계 판단을 마치고, 점과 도형 전체를 같은 방향과 거리만큼 옮길 때 좌표와 식이 어떻게 달라지는지 배웁니다.

자기 점검

• 대입 후 실수해의 수를 정확히 셀 수 있는가?
• 한 좌표를 구한 뒤 나머지 좌표를 빠뜨리지 않는가?
• 완성된 교점을 두 원래 식에 모두 대입해 검산하는가?