직선의 방정식 2 | 일반형으로 모든 직선 읽기

오늘의 질문

수직선처럼 기울기가 정해지지 않는 직선도 계수만으로 평행·수직을 판정할 수 있을까요?

이 글을 마치면 두 일반형 직선 $a_1x+b_1y+c_1=0$, $a_2x+b_2y+c_2=0$에서 $(a_i,b_i)\ne(0,0)$을 확인한 뒤, 평행 조건과 수직 조건을 적용하고 기울기 방법과 결과를 비교할 수 있습니다.

선수 개념 빠른 확인

1. $2x-y+3=0$을 $y=mx+n$ 꼴로 바꾸세요.
2. 기울기 $3$인 직선과 수직인 직선의 기울기는 무엇인가요?
3. $x=4$는 가로선인가요, 세로선인가요?

확인하기

간단 답은 $y=2x+3$, $-\frac13$, 세로선입니다.

개념을 먼저 이해하기

• 일반형: $ax+by+c=0$ 꼴의 직선 식입니다. 단, $a,b$가 동시에 $0$이면 직선이 아닙니다.
• 계수쌍 $(a,b)$: 일반형에서 $x,y$ 앞의 두 수를 묶어 부르는 말입니다.
• 비례: 한 계수쌍의 각 수에 같은 $0$이 아닌 수를 곱하여 다른 계수쌍을 얻는 관계입니다.

$b\ne0$이면 $ax+by+c=0$의 기울기는 $-\frac ab$입니다. 분수 계산 없이도 다음 조건을 쓸 수 있습니다.

$a_1b_2-a_2b_1=0 \quad\text{(평행 또는 일치)}$

$a_1a_2+b_1b_2=0 \quad\text{(수직)}$

첫 조건이 $0$이면 두 계수쌍은 서로 비례하여 같거나 반대 방향이고, 두 직선은 같은 방향을 가집니다. 이때 상수항까지 같은 비율이면 일치하고, 아니면 평행입니다.

예제로 확인하기

일반형에서는 계수의 순서를 바꾸지 말고 $(x\text{의 계수},y\text{의 계수})$로 적는 것이 안전합니다.

예제 1: 일반형으로 수직 판단하기

$3x-2y+1=0$과 $2x+3y-7=0$을 비교합니다.

1. 계수쌍은 $(3,-2)$, $(2,3)$이고 둘 다 $(0,0)$이 아닙니다.
2. 수직 조건은 $3\cdot2+(-2)\cdot3=0$입니다.
3. 따라서 두 직선은 수직입니다.
4. 확인: 기울기는 $\frac32$, $-\frac23$이고 곱은 $-1$입니다.

예제 2: 수직선이 포함된 경우

$2x-6=0$과 $5y+10=0$의 관계를 판단합니다.

1. 두 식은 각각 $x=3$, $y=-2$인 직선입니다.
2. 계수쌍은 $(2,0)$, $(0,5)$입니다.
3. $2\cdot0+0\cdot5=0$이므로 수직입니다.
4. 확인: 첫 직선은 세로선, 둘째 직선은 가로선이며 $(3,-2)$에서 직각으로 만납니다.

기울기 곱을 쓸 수 없어도 일반형 조건은 작동합니다.

예제 3: 계수만 비례한다고 일치시킨 오류

$2x+4y-6=0$과 $x+2y+5=0$을 일치한다고 한 풀이를 고칩니다.

1. 각 식은 직선이고 계수쌍 $(2,4)$와 $(1,2)$는 $2:1$로 비례합니다.
2. $2\cdot2-1\cdot4=0$이므로 방향은 같습니다.
3. 그러나 둘째 식을 $2$배하면 $2x+4y+10=0$으로, 상수항 $-6$과 다릅니다.
4. 확인: $x=0$일 때 첫 직선은 $y=\frac32$, 둘째 직선은 $y=-\frac52$를 지납니다.

따라서 두 직선은 일치하지 않고 평행합니다.

방법이 성립하는 이유

$b_1,b_2\ne0$이라면 평행 조건은

$-\dfrac{a_1}{b_1}=-\dfrac{a_2}{b_2}$

의 양변 분모를 없앤 $a_1b_2-a_2b_1=0$과 같습니다. 수직 조건도

$\left(-\dfrac{a_1}{b_1}\right)\left(-\dfrac{a_2}{b_2}\right)=-1$

을 정리하면 $a_1a_2+b_1b_2=0$이 됩니다. 일반형 조건은 분모가 $0$인 수직선도 포함하므로 적용 범위가 더 넓습니다.

자주 하는 오해와 조건 점검

$a_1b_2-a_2b_1=0$은 곧바로 “평행”이 아니라 “평행 또는 일치”입니다. 상수항까지 같은 비율인지 추가로 확인해야 합니다. 또한 $a=b=0$인 $c=0$이나 $c\ne0$은 직선이 아니므로 어떤 위치 관계 조건도 적용할 수 없습니다.

계수쌍으로 두 직선 비교하기

모눈종이에 $2x+y=2$를 두 점으로 그린 뒤, $4x+2y=-6$과 $x-2y=1$도 같은 방식으로 그려 보세요. 처음 두 식의 계수쌍 $(2,1)$, $(4,2)$는 같은 비율입니다. $2x+y=2$와 $x-2y=1$에서는 같은 자리끼리 곱해 더하면 $2\cdot1+1\cdot(-2)=0$입니다. 그림을 그린 뒤 이 두 계산이 각각 평행과 수직을 말하는지 연결해 보세요.

직접 해 보기

먼저 아래 미니 연습에서 계수쌍 조건을 적용해 보세요. 답을 제출한 뒤 필요하면 힌트와 해설을 확인합니다.

각 문제에서 먼저 $(a,b)\ne(0,0)$인지 확인하세요.

연습 문제

1. $3x+2y-1=0$의 계수쌍을 쓰세요.
2. $2x-y+4=0$과 $4x-2y-3=0$의 관계를 판단하세요.
3. $x+3y=2$와 $3x-y=5$의 관계를 판단하세요.
4. $x=2$와 $x=-5$의 관계를 판단하세요.
5. $y=4$와 $x+y=1$은 수직인가요?
6. $kx+2y-1=0$이 $4x-y+3=0$과 평행할 때 $k$를 구하세요.
7. $3x+ky=7$이 $2x-y=1$과 수직일 때 $k$를 구하세요.
8. $2x+6y+4=0$과 $x+3y+2=0$의 관계를 판단하세요.
9. “계수쌍이 비례하면 항상 평행이다”가 부정확한 이유를 쓰세요.
10. $ax+by+1=0$이 $y=0$과 수직이고 실제 직선일 때 $a,b$가 만족할 조건을 쓰세요.

힌트 보기

힌트와 해설

힌트

1. $x,y$ 앞의 수입니다. 2, 4. 교차곱의 차를 봅니다. 3, 7. 같은 자리의 계수를 곱해 더합니다. 5. 일반형 계수로 바꿉니다. 6. 평행 조건을 씁니다. 8~9. 상수항의 비도 확인합니다. 10. $y=0$의 계수쌍은 $(0,1)$입니다.

정답 보기

해설

1. $(3,2)\ne(0,0)$. 답은 $(3,2)$. 확인: 원래 식의 계수 순서와 같습니다.
2. 두 식은 직선입니다. $2(-2)-4(-1)=0$이고 상수항 비는 다르므로 평행입니다. 확인: 기울기가 모두 $2$입니다.
3. 계수쌍은 $(1,3)$, $(3,-1)$. $1\cdot3+3\cdot(-1)=0$이므로 수직입니다. 확인: 기울기 곱 $-\frac13\cdot3=-1$입니다.
4. 계수쌍 $(1,0)$이 같습니다. 상수항 비가 달라 평행입니다. 확인: 서로 다른 세로선입니다.
5. 계수쌍은 $(0,1)$, $(1,1)$. 곱의 합은 $1$이므로 수직이 아닙니다. 확인: 기울기 $0$과 $-1$입니다.
6. 두 식이 직선입니다. $k(-1)-4\cdot2=0$에서 $k=-8$. 확인: 기울기는 각각 $4$, $4$입니다.
7. $(3,k)\ne(0,0)$. $3\cdot2+k(-1)=0$에서 $k=6$. 확인: 기울기 $-\frac12$, $2$의 곱은 $-1$입니다.
8. 모든 계수가 $2:1$입니다. 일치합니다. 확인: 둘째 식의 $2$배가 첫째 식입니다.
9. 계수쌍 비례는 방향만 같습니다. 상수항까지 비례하면 일치하므로 ‘서로 다른 두 직선’인지 확인해야 합니다. 확인: 8번이 반례입니다.
10. $(a,b)\ne(0,0)$. 수직 조건 $a\cdot0+b\cdot1=0$에서 $b=0$, 실제 직선이므로 $a\ne0$. 확인: $ax+1=0$은 세로선이라 $y=0$과 수직입니다.

다음 연결

07편에서는 수직 관계를 판단하는 데서 한 걸음 더 나아가, 점에서 직선으로 내린 수선이 왜 가장 짧은 길이를 만드는지 확인합니다.

자기 점검

• 일반형을 쓰기 전에 $(a,b)\ne(0,0)$을 확인하는가?
• 평행 조건 뒤에 일치 여부를 추가로 확인하는가?
• 수직선이 있어도 일반형 조건을 적용할 수 있는가?