도형의 이동 2 | 대칭이동으로 좌표 바꾸기

오늘의 질문

점을 축이나 직선에 비추었을 때 어떤 좌표는 부호가 바뀌고, 어떤 좌표는 자리가 바뀌는 이유는 무엇일까요?

이 글을 마치면 점 $(x,y)$를 $x$축, $y$축, 원점, 직선 $y=x$에 대칭이동한 좌표를 구하고, 직선 대칭에서는 대칭축이 대응점 선분의 수직이등분선인지, 원점 대칭에서는 원점이 두 점의 중점인지로 결과를 검산할 수 있습니다.

선수 개념 빠른 확인

1. 점 $(3,-2)$에서 $x$축까지 거리는 얼마인가요?
2. $(1,5)$와 $(5,1)$의 중점을 구하세요.
3. 기울기 $1$인 직선과 수직인 직선의 기울기는 무엇인가요?

선수 개념 정답 보기

간단 답은 $2$, $(3,3)$, $-1$입니다.

개념을 먼저 이해하기

• 직선에 대한 대칭: 대칭축을 따라 종이를 접었을 때 원래 점과 겹치는 자리로 옮기는 것입니다.
• 원점에 대한 대칭: 원점을 사이에 두고 반대편의 같은 거리만큼 옮기는 것입니다.

$x$축과 $y$축, $y=x$에 대한 대칭은 직선 대칭입니다. 원점 대칭은 기준이 점 하나입니다. 좌표 규칙은 다음과 같습니다.

$x\text{축}: (x,y)\to(x,-y)$ $y\text{축}: (x,y)\to(-x,y)$ $\text{원점}: (x,y)\to(-x,-y)$ $y=x: (x,y)\to(y,x)$

직선 대칭에서는 대칭축 위의 점이, 원점 대칭에서는 원점이 그대로입니다.

예제로 확인하기

규칙을 외운 뒤에는 기준에 맞는 확인 하나를 골라 보세요. 축 대칭에서는 축과 평행한 방향의 좌표가 유지되는지 확인합니다. $y=x$ 대칭에서는 두 점을 이은 선분의 중점이 축 위에 있고 선분이 축에 수직인지 확인합니다. 원점 대칭에서는 두 점의 중점이 원점인지 확인합니다.

예제 1: 축과 원점 대칭 비교하기

$P(-4,3)$의 $x$축, $y$축, 원점 대칭점을 구합니다.

1. $P$는 어느 축 위에도 없습니다.
2. $x$축 대칭은 세로 위치만 반대가 되어 $(-4,-3)$입니다.
3. $y$축 대칭은 가로 위치만 반대가 되어 $(4,3)$입니다.
4. 원점 대칭은 두 위치가 모두 반대가 되어 $(4,-3)$입니다.
5. 확인: 축 대칭에서는 대응점 선분이 축에 수직이고 중점이 축 위에 있으며, 원점 대칭에서는 원점이 두 점의 중점입니다.

예제 2: $y=x$ 대칭을 그림의 조건으로 확인하기

대칭이동한 점을 $P'$라고 씁니다. 직선 대칭에서는 대칭축이 선분 $PP'$를 수직으로 만나면서 정확히 반으로 나눕니다. 이 성질을 수직이등분이라고 합니다.

$P(5,-1)$을 $y=x$에 대칭이동합니다.

1. $5\ne-1$이므로 $P$는 대칭축 위에 있지 않습니다.
2. 좌표 자리를 바꾸어 $P'(-1,5)$입니다.
3. 중점은 $\left(2,2\right)$로 $y=x$ 위에 있습니다.
4. $PP'$의 기울기는 $\dfrac{5-(-1)}{-1-5}=-1$이고 대칭축의 기울기 $1$과 수직입니다.
5. 확인: 중점 조건과 수직 조건이 모두 성립합니다.

예제 3: 부호를 바꾼 오류와 고정점

$Q(-2,4)$의 $y=x$ 대칭점을 $(2,-4)$라고 한 풀이를 고칩니다.

1. $Q$는 $-2\ne4$라 축 위에 있지 않습니다.
2. $y=x$ 대칭은 부호 변경이 아니라 좌표 교환이므로 $Q'=(4,-2)$입니다.
3. 중점은 $(1,1)$로 $y=x$ 위에 있습니다.
4. 확인: $QQ'$의 기울기는 $-1$입니다. 틀린 점 $(2,-4)$과의 중점 $(0,0)$은 축 위지만 연결선 기울기가 $-2$라 수직 조건을 만족하지 않습니다.

중점 하나만 맞는 것으로는 부족하고 수직 조건도 필요합니다.

방법이 성립하는 이유

$x$축 대칭에서는 기준선까지의 세로 거리 $|y|$가 같고 반대편이어야 하므로 $y$만 $-y$로 바뀝니다. $y$축도 같은 논리로 $x$만 바뀝니다. 원점 대칭은 원점이 두 점의 중점이므로 두 좌표의 합이 각각 $0$이 됩니다. $y=x$에서 $x\ne y$이면 가로 위치와 세로 위치의 역할을 서로 바꾸면 중점이 축 위에 놓이고 연결선이 축과 수직이 됩니다. $x=y$이면 점이 축 위의 고정점입니다.

자주 하는 오해와 조건 점검

‘대칭은 무조건 부호를 바꾼다’는 규칙은 없습니다. 무엇을 기준으로 비추는지 먼저 확인해야 합니다. 대칭축 위의 점은 같은 점으로 남으므로, 예를 들어 $(3,3)$의 $y=x$ 대칭점을 새 점처럼 $(3,3)$ 외에 따로 찾지 않습니다.

대칭축을 기준으로 좌표를 바꿔 보기

좌표평면을 그린 종이를 $y=x$를 따라 접고 $(4,1)$, $(-2,3)$을 표시해 보세요. 대응점을 먼저 예측한 뒤, 두 점을 이은 선분의 중점이 $y=x$ 위에 있는지 확인하세요.

확인하기

대칭이동한 대응점의 좌표는 $(1,4)$, $(3,-2)$입니다. 원래 점과 대응점의 좌표는 서로 바뀌고, 두 점의 중점은 $y=x$ 위에 놓입니다. $y=x$ 대칭에서는 가로와 세로의 역할이 바뀝니다.

직접 해 보기

먼저 아래 미니 연습에서 대칭 규칙과 수직이등분 조건을 확인해 보세요. 답을 제출한 뒤 필요하면 힌트와 해설을 확인합니다.

각 답은 같은 변환을 한 번 더 적용해 원래 점으로 돌아오는지 검산할 수 있습니다.

연습 문제

1. $(3,-7)$의 $x$축 대칭점을 구하세요.
2. $(-5,2)$의 $y$축 대칭점을 구하세요.
3. $(4,-1)$의 원점 대칭점을 구하세요.
4. $(-2,6)$의 $y=x$ 대칭점을 구하세요.
5. $(0,5)$의 $y$축 대칭점을 구하세요.
6. $(3,3)$의 $y=x$ 대칭점을 구하고 이유를 쓰세요.
7. 점 $P(a,-4)$의 $x$축 대칭점이 $(2,4)$일 때 $a$를 구하세요.
8. 점 $(k,2)$와 그 $y$축 대칭점 사이의 거리가 $10$이고 $k>0$일 때 $k$를 구하세요.
9. “원점 대칭은 좌표의 자리를 바꾼다”의 오류를 설명하세요.
10. $P(1,5)$를 먼저 $x$축, 다음 $y$축에 대칭이동한 점을 구하고 원점 대칭 결과와 비교하세요.

힌트 보기

힌트와 해설

힌트

1~4. 기준에 맞는 규칙을 선택합니다. 5~6. 점이 대칭축 위인지 봅니다. 7. 유지되는 좌표를 찾습니다. 8. 두 점은 $(k,2)$, $(-k,2)$입니다. 9. 원점이 중점이 되게 합니다. 10. 규칙을 순서대로 적용합니다.

정답 보기

해설

1. $x$축 대칭이므로 $(3,7)$입니다.
2. $y$축 대칭이므로 $(5,2)$입니다.
3. 원점 대칭이므로 $(-4,1)$입니다.
4. $y=x$ 대칭이므로 $(6,-2)$입니다.
5. 점이 $y$축 위에 있으므로 $(0,5)$ 그대로입니다.
6. 좌표를 바꿔도 같으므로 $(3,3)$입니다.
7. $x$축 대칭은 $x$를 유지하므로 $a=2$입니다.
8. 두 점은 $(k,2)$, $(-k,2)$입니다. $2k=10$이므로 $k=5$입니다.
9. 원점 대칭은 두 부호를 바꾸고, 자리 교환은 $y=x$ 대칭에서 합니다.
10. $(1,5)\to(1,-5)\to(-1,-5)$입니다. 원점 대칭과 같습니다.

다음 연결

15편에서는 한 점의 대칭 규칙을 도형 위의 모든 점에 적용해, 직선과 원 전체의 대칭이동 방정식을 구합니다.

자기 점검

• 대칭 기준에 따라 부호 변경과 자리 교환을 구별하는가?
• 대칭축 위의 점이 고정된다는 것을 아는가?
• 중점과 수직 조건 또는 같은 변환 두 번으로 검산하는가?