도형의 이동 3 | 대칭이동으로 방정식 바꾸기

오늘의 질문

도형 위의 점을 하나씩 옮기지 않고 대칭이동한 도형 전체의 식을 어떻게 구할까요?

이 글을 마치면 원래 도형 $F(u,v)=0$에서 새 점 $(x,y)$의 대칭 전 좌표를 찾아 치환하고, $x$축·$y$축·원점·$y=x$ 대칭 후의 직선과 원 방정식을 구해 중심이나 대표점으로 검산할 수 있습니다.

선수 개념 빠른 확인

1. 점 $(2,-3)$의 $x$축 대칭점은 무엇인가요?
2. 점 $(2,-3)$의 $y=x$ 대칭점은 무엇인가요?
3. $(x-4)^2+(y+1)^2=9$의 중심은 무엇인가요?

선수 개념 정답 보기

간단 답은 $(2,3)$, $(-3,2)$, $(4,-1)$입니다.

개념을 먼저 이해하기

원래 도형의 점을 $(u,v)$, 대칭된 도형의 점을 $(x,y)$라 합시다. 대칭은 같은 변환을 두 번 하면 돌아오므로 새 점의 원래 좌표도 같은 규칙으로 찾습니다.

• $x$축 대칭: $(u,v)=(x,-y)$, 따라서 $F(x,-y)=0$
• $y$축 대칭: $(u,v)=(-x,y)$, 따라서 $F(-x,y)=0$
• 원점 대칭: $(u,v)=(-x,-y)$, 따라서 $F(-x,-y)=0$
• $y=x$ 대칭: $(u,v)=(y,x)$, 따라서 $F(y,x)=0$

치환 뒤에는 식을 읽기 쉬운 꼴로 정리합니다.

예제로 확인하기

대칭시킨 중심 또는 원래 도형의 대표점을 함께 옮겨 새 식에 넣으면 부호 오류를 찾기 쉽습니다.

예제 1: 원을 $y$축에 대칭이동하기

원 $(x-3)^2+(y+2)^2=16$을 $y$축에 대칭이동합니다.

1. 원래 중심은 $(3,-2)$, 반지름은 $4$입니다.
2. 새 점의 원래 좌표는 $(-x,y)$이므로 $(-x-3)^2+(y+2)^2=16$입니다.
3. 정리하면 $(x+3)^2+(y+2)^2=16$입니다.
4. 확인: 중심은 $(-3,-2)$로 대칭되고 반지름 $4$는 그대로입니다.

예제 2: 직선을 $y=x$에 대칭이동하기

직선 $2x-y+4=0$을 $y=x$에 대칭이동합니다.

1. 원래 식은 실제 직선입니다.
2. 원래 좌표 $(u,v)$는 새 좌표의 순서를 바꾼 $(y,x)$입니다.
3. $2y-x+4=0$, 즉 $x-2y-4=0$입니다.
4. 확인: 원래 직선 위의 점 $(0,4)$는 대칭 후 $(4,0)$이고, 새 식에 넣으면 $4-0-4=0$입니다.

예제 3: 식의 겉모양만 보고 부호를 바꾼 오류

$y=2x+3$을 $x$축에 대칭하면서 $x$의 부호만 바꿔 $y=-2x+3$이라고 한 풀이를 고칩니다.

1. 기준은 $x$축이므로 점의 $y$좌표가 바뀌고 $x$는 유지됩니다.
2. 새 점의 원래 좌표는 $(x,-y)$이므로 $-y=2x+3$입니다.
3. 정리하면 $y=-2x-3$입니다.
4. 확인: 원래 $y$절편 점 $(0,3)$은 $(0,-3)$으로 가며 새 식을 만족합니다. 틀린 식은 $(0,3)$을 그대로 둡니다.

방법이 성립하는 이유

새 도형 위의 점 $(x,y)$이 정말 대칭된 도형에 속하려면, 그 점을 기준선에 다시 대칭한 원래 점 $(u,v)$가 원래 식 $F(u,v)=0$을 만족해야 합니다. 축과 원점, $y=x$ 대칭은 같은 대칭을 두 번 하면 원래로 돌아오므로 ‘새 점에서 원래 점 찾기’에도 같은 좌표 규칙을 사용합니다.

자주 하는 오해와 조건 점검

그래프의 겉모양만 보고 식 전체에 $-1$을 곱하는 것은 대칭이동이 아닙니다. 방정식 양변에 $-1$을 곱하면 같은 도형이 그대로 남습니다. 대칭이동은 변수에 대응 규칙을 치환해야 합니다. 다만 정리 결과가 원래 식과 같다면 그 도형이 해당 기준에 대해 대칭인 것입니다.

대칭 뒤에도 남는 식의 구조 찾기

투명 종이에 직선 $y=2x+1$과 원 $(x-2)^2+y^2=4$를 그리고 $y$축을 따라 뒤집어 보세요. 식에서는 $x$ 자리에 $-x$를 넣습니다. 직선의 기울기는 $2$에서 $-2$로, 원의 중심은 $(2,0)$에서 $(-2,0)$으로 바뀌며 길이는 유지됩니다. 대칭이동한 도형의 식은 새 점의 대칭 전 좌표를 원래 식에 넣어 구합니다.

직접 해 보기

먼저 아래 미니 연습에서 대칭 전 좌표 치환을 적용해 보세요. 답을 제출한 뒤 필요하면 힌트와 해설을 확인합니다.

치환한 뒤 대표점과 중심을 각각 하나씩 확인하세요.

연습 문제

1. $y=x+4$를 $x$축에 대칭이동한 식을 구하세요.
2. $y=-3x+2$를 $y$축에 대칭이동한 식을 구하세요.
3. $x+y-5=0$을 원점에 대칭이동한 식을 구하세요.
4. $2x+3y=6$을 $y=x$에 대칭이동한 식을 구하세요.
5. $(x-1)^2+(y-4)^2=9$를 $x$축에 대칭이동한 식을 구하세요.
6. $(x+2)^2+(y-3)^2=25$를 원점에 대칭이동한 식을 구하세요.
7. $x^2+(y-5)^2=4$를 $y$축에 대칭이동하면 식이 어떻게 되나요?
8. $y=x$를 $y=x$에 대칭이동한 결과를 구하고 이유를 쓰세요.
9. 방정식 전체에 $-1$을 곱하는 것이 대칭이동이 아닌 이유를 설명하세요.
10. 원 $(x-a)^2+(y+2)^2=16$을 $y=x$에 대칭했더니 중심이 $(-2,5)$가 되었습니다. $a$와 새 원의 식을 구하세요.

힌트 보기

힌트와 해설

힌트

1~4. 기준에 맞게 변수에 부호 또는 순서 변화를 넣습니다. 5~7. 중심도 함께 대칭합니다. 8. 도형의 모든 점이 축 위에 있습니다. 9. 해집합이 바뀌는지 봅니다. 10. 원래 중심 $(a,-2)$의 좌표를 바꿉니다.

정답 보기

해설

1. 실제 직선. $-y=x+4$, 즉 $y=-x-4$. 확인: $(0,4)\to(0,-4)$입니다.
2. 실제 직선. $y=3x+2$. 확인: 원래 점 $(0,2)$은 그대로이고 기울기 부호가 바뀝니다.
3. 실제 직선. $-x-y-5=0$, 정리해 $x+y+5=0$. 확인: $(5,0)\to(-5,0)$입니다.
4. 실제 직선. $2y+3x=6$, 즉 $3x+2y=6$. 확인: 원래 점 $(3,0)\to(0,3)$이 새 식을 만족합니다.
5. 원의 반지름 $3>0$. $(x-1)^2+(y+4)^2=9$. 확인: 중심 $(1,4)\to(1,-4)$입니다.
6. 원의 반지름 $5>0$. $(x-2)^2+(y+3)^2=25$. 확인: 중심 $(-2,3)\to(2,-3)$입니다.
7. 중심이 $y$축 위입니다. 식은 그대로입니다. 확인: $x$에 $-x$를 넣어도 $x^2$입니다.
8. 모든 점이 대칭축 위입니다. $y=x$ 그대로입니다. 확인: $x,y$를 바꾸면 $x=y$로 같은 식입니다.
9. $F=0$과 $-F=0$은 같은 점들을 나타냅니다. 도형이 이동하지 않습니다. 확인: 어떤 해를 넣어도 둘 다 동시에 참입니다.
10. 원래 중심 $(a,-2)$가 $(-2,a)$로 갑니다. $a=5$, 새 식은 $(x+2)^2+(y-5)^2=16$. 확인: 중심과 반지름이 조건과 맞습니다.

다음 연결

16편에서는 평행이동과 대칭이동을 두 번 이상 이어 붙이고, 마지막에 한 일을 먼저 취소하는 역변환으로 원래 위치를 되찾습니다.

자기 점검

• 새 점의 대칭 전 좌표를 원래 식에 치환할 수 있는가?
• 식 전체의 부호 변경과 변수 치환을 구별하는가?
• 대표점과 중심을 대칭시켜 새 식을 검산하는가?