도형의 이동 1 | 평행이동: 점에서 도형으로

오늘의 질문

점을 오른쪽으로 옮길 때는 좌표에 더하면서, 도형의 식에는 왜 반대 부호가 나타날까요?

이 글을 마치면 점을 $(p,q)$만큼 평행이동한 좌표를 구하고, 도형 $F(x,y)=0$의 이동한 식을 $F(x-p,y-q)=0$으로 만들며 대표점을 대입해 검산할 수 있습니다.

선수 개념 빠른 확인

1. 점 $(2,-1)$에서 오른쪽으로 $3$, 위로 $4$ 간 좌표는 무엇인가요?
2. 새 좌표가 $x=u+5$이면 원래 좌표 $u$를 $x$로 나타내세요.
3. $(x-1)^2+(y+2)^2=9$의 중심은 무엇인가요?

선수 개념 정답 보기

간단 답은 $(5,3)$, $u=x-5$, $(1,-2)$입니다.

개념을 먼저 이해하기

• 평행이동: 모든 점을 같은 방향으로 같은 거리만큼 옮기는 변환입니다.
• 이동량 $(p,q)$: 가로로 $p$, 세로로 $q$만큼 옮긴다는 뜻입니다. 음수는 왼쪽 또는 아래쪽입니다.
• 원래 점 $(u,v)$와 새 점 $(x,y)$: 이동 전후를 구별하기 위한 이름입니다.

점은

$(u,v)\longrightarrow(u+p,v+q)$

로 갑니다. 새 점을 $(x,y)$라 하면 $x=u+p$, $y=v+q$이므로 원래 좌표는 $u=x-p$, $v=y-q$입니다. 따라서 원래 도형 $F(u,v)=0$의 이동한 식은

$F(x-p,y-q)=0$

입니다. 식에서 부호가 반대로 보이는 까닭은 새 점에서 원래 점을 되찾아 원래 조건에 넣기 때문입니다.

예제로 확인하기

점의 이동 규칙과 식의 치환 규칙을 같은 줄에서 섞지 말고, 원래 좌표와 새 좌표를 먼저 구분하세요.

예제 1: 점 이동하기

점 $A(-3,5)$를 $(4,-2)$만큼 평행이동합니다.

1. 이동량은 오른쪽 $4$, 아래쪽 $2$입니다.
2. 새 점은 $A'(-3+4,5-2)=(1,3)$입니다.
3. 확인: $A'$에서 역이동 $(-4,2)$를 하면 $(1-4,3+2)=(-3,5)$로 돌아옵니다.

예제 2: 원 전체 이동하기

원 $(x+2)^2+(y-1)^2=4$를 $(3,5)$만큼 옮긴 식을 구합니다.

1. 원래 중심은 $(-2,1)$, 반지름은 $2$입니다.
2. 새 식을 구하려면 원래 식의 $x$에 $x-3$, $y$에 $y-5$를 넣습니다.
3. $((x-3)+2)^2+((y-5)-1)^2=4$, 즉 $(x-1)^2+(y-6)^2=4$입니다.
4. 확인: 중심이 $(-2+3,1+5)=(1,6)$으로 이동했고 반지름은 그대로 $2$입니다.

예제 3: 이동 방향과 식 부호 오류 고치기

직선 $y=2x-1$을 오른쪽으로 $4$ 옮기면서 $x$에 $x+4$를 넣어 $y=2x+7$을 얻은 풀이를 고칩니다.

1. 이동량은 $(4,0)$입니다.
2. 새 점에서 원래 $x$는 $x-4$이므로 $y=2(x-4)-1=2x-9$입니다.
3. 원래 직선의 점 $(0,-1)$은 $(4,-1)$로 이동합니다.
4. 확인: $(4,-1)$을 새 식에 넣으면 $-1=8-9$로 참입니다. 틀린 식 $y=2x+7$에는 맞지 않습니다.

방법이 성립하는 이유

새 도형 위의 점 $(x,y)$은 어떤 원래 점 $(u,v)$가 이동한 결과입니다. 이동 규칙 $x=u+p$, $y=v+q$를 거꾸로 풀면 $(u,v)=(x-p,y-q)$입니다. 원래 점은 반드시 $F(u,v)=0$을 만족하므로 $F(x-p,y-q)=0$이 됩니다. 이 방법은 직선이나 원뿐 아니라 좌표식으로 나타낸 모든 도형에 같은 논리로 적용됩니다.

자주 하는 오해와 조건 점검

점 좌표에는 이동량을 더하고, 도형 식에는 새 변수에서 이동량을 빼서 원래 좌표를 찾습니다. 둘은 모순이 아닙니다. 또한 평행이동은 모양과 길이를 바꾸지 않으므로 원의 반지름이나 직선의 기울기가 달라졌다면 치환을 다시 확인해야 합니다.

이동 전후의 좌표 변화를 추적하기

투명 종이에 삼각형의 세 점 $(0,0)$, $(2,0)$, $(1,2)$를 찍고 오른쪽 $3$, 아래 $1$만큼 옮겨 새 꼭짓점을 먼저 계산하세요. 대응하는 점 사이의 변화가 모두 $(3,-1)$인지와 변의 길이가 그대로인지 확인해 보세요.

확인하기

새 꼭짓점은 각각 $(3,-1)$, $(5,-1)$, $(4,1)$입니다. 점 좌표에는 이동량을 더하지만, 식에서는 원래 위치를 찾기 위해 반대로 치환합니다.

직접 해 보기

먼저 아래 미니 연습에서 점과 식의 평행이동을 구분해 보세요. 답을 제출한 뒤 필요하면 힌트와 해설을 확인합니다.

도형의 식을 구한 뒤 대표점 하나를 실제로 옮겨 새 식에 대입하세요.

연습 문제

1. $(2,7)$을 $(-5,3)$만큼 옮긴 점을 구하세요.
2. $(-1,4)$를 오른쪽 $6$, 아래 $2$만큼 옮기세요.
3. $x^2+y^2=9$를 $(2,-4)$만큼 옮긴 식을 구하세요.
4. $(x-3)^2+(y+1)^2=16$을 $(-2,5)$만큼 옮긴 식을 구하세요.
5. $y=x+2$를 위로 $3$만큼 옮긴 식을 구하세요.
6. $y=-2x+1$을 왼쪽으로 $4$만큼 옮긴 식을 구하세요.
7. $x=5$를 오른쪽으로 $2$만큼 옮긴 식을 구하세요.
8. 이동 뒤 원의 중심이 $(4,-1)$이고 이동량이 $(3,2)$일 때 원래 중심을 구하세요.
9. “오른쪽 이동이면 식의 $x$에 이동량을 더한다”의 오류를 설명하세요.
10. 원 $(x+1)^2+(y-2)^2=25$를 $(p,-3)$만큼 옮겼더니 중심이 $(5,-1)$이 되었습니다. $p$와 새 식을 구하세요.

힌트 보기

힌트와 해설

힌트

1~2. 점에는 이동량을 더합니다. 3~7. 원래 식에 $x-p,y-q$를 넣습니다. 8. 새 중심에서 이동량을 뺍니다. 9. 새 좌표로 원래 좌표를 나타냅니다. 10. 중심의 이동을 먼저 봅니다.

정답 보기

해설

1. 이동량 $(-5,3)$. $(-3,10)$. 확인: 역이동 $(5,-3)$으로 $(2,7)$입니다.
2. 이동량 $(6,-2)$. $(5,2)$. 확인: 좌표 차가 $(6,-2)$입니다.
3. 이동량 $(2,-4)$. $(x-2)^2+(y+4)^2=9$. 확인: 중심이 $(2,-4)$이고 반지름은 $3$입니다.
4. 원래 중심 $(3,-1)$. 새 중심 $(1,4)$, 식 $(x-1)^2+(y-4)^2=16$. 확인: 중심 변화가 $(-2,5)$입니다.
5. 이동량 $(0,3)$. $y-3=x+2$, 즉 $y=x+5$. 확인: $(0,2)$가 $(0,5)$로 갑니다.
6. 이동량 $(-4,0)$. 원래 $x$는 $x+4$, 따라서 $y=-2(x+4)+1=-2x-7$. 확인: $(0,1)$이 $(-4,1)$로 가고 새 식을 만족합니다.
7. 이동량 $(2,0)$. $x-2=5$, 즉 $x=7$. 확인: 세로선이 오른쪽으로 $2$ 이동했습니다.
8. 새 중심=원래 중심+$(3,2)$. 원래 중심은 $(1,-3)$. 확인: 더하면 $(4,-1)$입니다.
9. 식은 새 점에서 원래 점을 찾습니다. 오른쪽 $p$ 이동이면 원래 $x=x_{\text{새}}-p$입니다. 확인: 대표점을 옮겨 새 식에 넣습니다.
10. 원래 중심 $(-1,2)$. $-1+p=5$에서 $p=6$, 새 중심 $(5,-1)$이고 식 $(x-5)^2+(y+1)^2=25$. 확인: 이동량은 $(6,-3)$입니다.

다음 연결

14편에서는 모든 점을 같은 방향으로 미는 대신, 기준선이 두 대응점의 한가운데가 되도록 뒤집는 대칭이동의 좌표 규칙을 배웁니다.

자기 점검

• 점 이동과 도형 식 치환의 부호가 다른 이유를 말할 수 있는가?
• 원래 좌표와 새 좌표를 다른 문자로 구분할 수 있는가?
• 이동한 대표점과 중심으로 새 식을 검산하는가?