원의 방정식 2 | 일반형에서 중심과 반지름 읽기

오늘의 질문

전개된 식에서 숨은 중심과 반지름을 어떻게 되찾고, 정말 원을 나타내는지도 어떻게 확인할까요?

이 글을 마치면 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$을 완전제곱하여 표준형으로 바꾸고, 오른쪽 값의 부호에 따라 원·한 점·실수 그래프 없음으로 분류할 수 있습니다.

선수 개념 빠른 확인

1. $(x-3)^2$을 전개하세요.
2. $x^2+6x$에 어떤 수를 더하면 완전제곱식이 되나요?
3. $(y+2)^2=0$을 만족하는 $y$는 무엇인가요?

선수 개념 정답 보기

간단 답은 $x^2-6x+9$, $9$, $-2$입니다.

개념을 먼저 이해하기

• 완전제곱식: $(x-p)^2$처럼 한 식의 제곱으로 된 식입니다.
• 완전제곱 만들기: $x^2+Dx$에 $\left(\frac D2\right)^2$을 더해 $\left(x+\frac D2\right)^2$로 묶는 과정입니다.
• 원의 일반형 후보 식: $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 꼴입니다. 완전제곱한 뒤 오른쪽 값이 양수일 때 원을 나타냅니다.

$x$항과 $y$항을 따로 묶고 양변에 필요한 수를 똑같이 더합니다. 결과가

$(x-a)^2+(y-b)^2=R$

이면 $R>0$일 때 중심 $(a,b)$, 반지름 $\sqrt R$인 원입니다. $R=0$이면 한 점 $(a,b)$만 나타내고, $R<0$이면 실수 좌표에서 만족하는 점이 없습니다.

예제로 확인하기

완전제곱을 만들 때는 한쪽에만 수를 더하지 말고 등식 양쪽의 균형을 유지하세요.

예제 1: 중심과 반지름 복원하기

$x^2+y^2-8x+6y+9=0$을 표준형으로 바꿉니다.

1. $x^2,y^2$의 계수가 모두 $1$이고 $xy$항이 없어 제시된 꼴의 식입니다.
2. 상수항을 옮기면 $x^2-8x+y^2+6y=-9$입니다.
3. 양변에 $16$과 $9$를 더하면 $(x-4)^2+(y+3)^2=16$입니다.
4. 중심은 $(4,-3)$, 반지름은 $4$입니다.
5. 확인: 표준형을 전개하면 원래 식 $x^2+y^2-8x+6y+9=0$이 됩니다.

예제 2: 한 점과 원 없음 구별하기

$x^2+y^2+2x-4y+5=0$을 살펴봅니다.

1. 제시된 꼴의 식입니다.
2. $x^2+2x+y^2-4y=-5$에서 양변에 $1$, $4$를 더합니다.
3. $(x+1)^2+(y-2)^2=0$입니다.
4. 두 제곱의 합이 $0$이려면 둘 다 $0$이어야 하므로 $(-1,2)$ 한 점만 나타냅니다.
5. 확인: $(-1,2)$를 원래 식에 넣으면 $0$이고, 반지름은 $0$이라 원이 아닙니다.

오른쪽이 음수라면 제곱의 합이 음수가 될 수 없어 실수 그래프가 없습니다.

예제 3: 계수를 그대로 중심으로 읽은 오류

$x^2+y^2+10x-2y+17=0$의 중심을 $(10,-2)$라고 한 풀이를 고칩니다.

1. 제시된 꼴의 식입니다.
2. $x^2+10x=(x+5)^2-25$, $y^2-2y=(y-1)^2-1$입니다.
3. 정리하면 $(x+5)^2+(y-1)^2=9$입니다.
4. 중심은 $(-5,1)$, 반지름은 $3$입니다.
5. 확인: 중심을 원래 식에 넣으면 $25+1-50-2+17=-9$로, 왼쪽이 $-r^2$이 됩니다. 표준형을 전개해도 원식을 얻습니다.

중심은 일차항 계수의 부호를 바꾸어 절반으로 만든 값입니다.

방법이 성립하는 이유

$(x-a)^2=x^2-2ax+a^2$

이므로 $x$의 일차항 계수는 $-2a$입니다. 따라서 원의 방정식일 때 중심의 $x$좌표는 $-\frac D2$가 됩니다. $y$도 같습니다. 완전제곱 과정은 식의 값을 바꾸는 요령이 아니라, 양변에 같은 수를 더해 같은 점들의 모임을 더 읽기 쉬운 꼴로 바꾸는 등식 변형입니다.

자주 하는 오해와 조건 점검

$x^2+y^2$가 보인다고 모두 원은 아닙니다. 완전제곱 뒤 오른쪽이 양수인지 확인해야 합니다. 또한 $x^2+4y^2=4$처럼 제곱항 계수가 다르거나 $xy$항이 있는 식은 이 글의 원의 일반형 후보 식에 바로 해당하지 않습니다. 아직 배우지 않은 도형 이름으로 억지 분류하지 말고, 현재 조건 밖이라고 표시하세요.

전개된 식에서 원의 정보를 되찾기

$(x-2)^2+(y+1)^2=9$을 전개해 $x^2+y^2-4x+2y-4=0$을 만듭니다. 중심과 상하좌우 끝점 네 개를 두 식에 각각 대입해 보세요. 같은 다섯 점이 모두 두 식을 만족합니다. 완전제곱은 그래프를 옮기지 않고 전개식에 숨은 중심을 드러냅니다.

직접 해 보기

먼저 아래 미니 연습에서 완전제곱 뒤 오른쪽 값을 분류해 보세요. 답을 제출한 뒤 필요하면 힌트와 해설을 확인합니다.

각 식은 표준형으로 만든 뒤 오른쪽 값까지 확인하세요.

연습 문제

1. $x^2+y^2-4x+2y-4=0$의 중심과 반지름을 구하세요.
2. $x^2+y^2+6x+8y=0$을 표준형으로 바꾸세요.
3. $x^2+y^2-2x-6y+10=0$이 나타내는 것을 분류하세요.
4. $x^2+y^2+4x-2y+8=0$이 나타내는 것을 분류하세요.
5. 중심 $(2,-3)$, 반지름 $5$인 원을 일반형으로 나타내세요.
6. $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$을 완전제곱했을 때 두 제곱항의 기준점 좌표를 $D,E$로 나타내세요.
7. $x^2+y^2-6x+ky+9=0$의 중심이 $(3,2)$일 때 $k$를 구하세요.
8. $x^2+y^2+2x-4y+c=0$이 반지름 $3$인 원일 때 $c$를 구하세요.
9. “완전제곱하려고 왼쪽에만 $9$를 더했다”의 오류를 설명하세요.
10. $x^2+y^2-2tx+4y+t^2-5=0$이 나타내는 원의 중심과 반지름을 $t$로 나타내세요.

힌트 보기

힌트와 해설

힌트

1~4. 일차항 계수의 절반을 제곱해 양변에 더합니다. 5. 표준형을 전개합니다. 6. $-2a=D$를 이용합니다. 7. $-k/2=2$. 8. 완전제곱 뒤 오른쪽을 $9$로 둡니다. 9. 등식의 균형을 생각합니다. 10. $x$항과 $y$항을 각각 묶습니다.

정답 보기

해설

1. 제시된 꼴의 식입니다. $(x-2)^2+(y+1)^2=9$, 중심 $(2,-1)$, 반지름 $3$. 확인: 전개하면 원식입니다.
2. 제시된 꼴의 식입니다. $(x+3)^2+(y+4)^2=25$. 확인: 전개 시 상수 $25$가 양변에서 사라집니다.
3. 제시된 꼴의 식입니다. $(x-1)^2+(y-3)^2=0$, 한 점 $(1,3)$. 확인: 오른쪽이 $0$입니다.
4. 제시된 꼴의 식입니다. $(x+2)^2+(y-1)^2=-3$, 실수 그래프 없음. 확인: 제곱합은 음수가 될 수 없습니다.
5. 반지름은 양수. $(x-2)^2+(y+3)^2=25$, 즉 $x^2+y^2-4x+6y-12=0$. 확인: 다시 완전제곱하면 표준형입니다.
6. 제시된 꼴의 식입니다. 두 제곱항의 기준점 좌표는 $\left(-\frac D2,-\frac E2\right)$입니다. 이 식이 원이면 이 좌표가 중심입니다. 확인: $-2a=D$, $-2b=E$입니다.
7. 중심의 $y$좌표는 $-k/2$. $-k/2=2$에서 $k=-4$. 확인: $y^2-4y=(y-2)^2-4$입니다.
8. $(x+1)^2+(y-2)^2=5-c$. $5-c=9$에서 $c=-4$. 확인: 반지름은 $3$입니다.
9. 등식 한쪽만 바꾸면 같은 점의 모임을 보존하지 못합니다. 양변에 같은 수를 더해야 합니다. 확인: 원식과 변형식을 전개해 비교합니다.
10. 일반형입니다. $(x-t)^2+(y+2)^2=9$, 중심 $(t,-2)$, 반지름 $3$. 확인: 전개하면 상수는 $t^2+4-9=t^2-5$입니다.

다음 연결

11편에서는 복원한 중심과 반지름을 이용해 원과 직선의 교점 수를 연립 없이 거리 비교만으로 판단합니다.

자기 점검

• 완전제곱에서 양변에 같은 수를 더하는가?
• 오른쪽 값이 양수인지 확인한 뒤 원이라고 말하는가?
• 표준형을 다시 전개해 원래 식으로 검산할 수 있는가?